Bezout - Page 1

2)En utilisant le théorème de Bezout démontrer que pour tout entier naturel c non nul le pgcd de cn et de 2n+1 est égal au pgcd de c et 2n+1

(sachant qu'on sait déjà que n et 2n+1 sont premiers entre eux, d'après Bezout, dans la 1ere question).

Je crois qu'il doit y avoir un truc que je connais pas dans Bezout...

Soit d le PGCD de c*n et de 2n+1

Tu sais que n et 2n+1 sont premiers, donc d divise forcément c...

C'est une règle ça?
C'est quoi la démonstration?

Ah non rien c'est gauss en autre forme. merci

Ah bin non :-(

Putain l'arithmétique et moi ça fait 19
C'est quoi la démonstration du fait que si a et c sont premiers entre eux, le PGCD de ab et c divise b?

Ah si ça marche avec Gauss OTAN pour moi

19 est le premier premier dont le miroir n'est pas premier (91).

Et?

Bah c'est bien, non?

Voilà ce que j'ai fait grâce à NaPo:
Soit d le pgcd de 2n+1 et cn
2n+1=dq => d= 2n+1/q
cn=dq'
(2n+1)/q *q' = cn
Donc d=(2n+1)/q divise cn
or 2n+1/q et n sont premiers entre eux d'après le théorème de Bezout car q*(2n+1)/q+(-2)n=1
Donc d divise c d'après le théorème de Gauss, donc d est inférieur ou égal à c

Soit Dc la liste des diviseurs de c
Soit Dcn la liste des diviseurs de cn
Soit De la liste des diviseurs de 2n+1
Dc appartient à Dcn. d est par définition le plus grand terme de Dcn inter De. De plus il appartient à Dc. Donc il est le plus grand terme de Dc inter De.
Donc d est également le PGCD de c et de 2n+1


Bien rédigé?

arnsy :
Voilà ce que j'ai fait grâce à NaPo:
Soit d le pgcd de 2n+1 et cn
2n+1=dq => d= 2n+1/q
cn=dq'
(2n+1)/q *q' = cn
Donc d=(2n+1)/q divise cn
or 2n+1/q et n sont premiers entre eux d'après le théorème de Bezout car q*(2n+1)/q+(-2)n=1 Donc d divise c d'après le théorème de Gauss, donc d est inférieur ou égal à c

Ça m'a l'air correct, mais on général on évite d'utiliser les divisions/fractions en arithmétique, on préfère mettre des "donc il existe un entier k tel que ak=b" pour bien mettre en valeur que c'est un entier. Mais le trait de fraction n'est pas faux.

Soit Dc la liste des diviseurs de c
Soit Dcn la liste des diviseurs de cn
Soit De la liste des diviseurs de 2n+1 Dc appartient à Dcn.

Plutôt "Dc est sous-ensemble de Dcn".

d est par définition le plus grand terme de Dcn inter De. De plus il appartient à Dc. Donc il est le plus grand terme de Dc inter De. Donc d est également le PGCD de c et de 2n+1

Ça m'a l'air correct aussi.

Plus simple :

THEOREME DE GAUSS Si un nombre a divise un produit de facteurs et si a est premier avec l'un des deux facteurs alors a divise le deuxième facteur.

Soit a un diviseur de cn et de 2n+1. a divise 2n+1 donc a est premier avec n (car si a et n avaient un diviseur commun d>1, d diviserait n et 2n+1, ce qui est absurde). Donc a divise c, par théorème. Tous les diviseurs communs à cn et à 2n+1 divisent donc aussi c, et a fortiori le plus grand d'entre eux. Ainsi le pgcd de cn et de 2n+1 est aussi le pgcd de c et de 2n+1.