Polynomes de Tchebychev. - Page 1

Il s'agit de la fin de mon DM, j'ai fait les trois première partie je suppose qu'il est inutile de vous présenter les résultats démontré jusqu'à présent sur les polynomesde chebyschev vous les connnaissez mieux que moi.

On considère un polynome P à coefficients réels, unitaire de degré n, n>=1
||f||= sup|f(x)|, x€ [-1,1]

Montrer que ||P||>=1/(2^(n-1). On nous propose de s'intéresser au degré et aux racines de Q=P-Tn/2^(n-1) et de raisonner par l'absurde. Mais je ne vois pas trop comment procéder, si qqun pouvait m'aiguiller.Merci

erf j'ai oublié ce qu'était un polynôme de Tchebitchev :-\

t0=1
t1=X
tn+2=2XTn+1-tn

2^(n-1) correspond au coefficient dominant de Tn
Puis que x € [-1,1] je suppose qu'on va peut être utiliser le fait que Tn(cos(alpha))=cos(n*alpha). M'enfin je ne vois toujours pas comment aboutir. (en même temps j'ai rien foutue cette après midi glande powa)

moi aussi j'avais oublié

ben tu supposes que Q a p racines, nécessairement p<=n-1 à cause de d°(Q), si tu les notes x1<...<xp alors en notant -1=q1<...<qn<q[n+1]=1 les points tels que Tn/2^(n-1) = +- 1/2^(n-1), tu vas avoir au moins un couple (i,j) tel que xi<=qj<=q(j+1)<=x(i+1), et donc sur cet intervalle Q est, disons, positif : alors Tn/2^(n-1) a pour valeur soit en qj, soit en q(j+1) 1/2^(n-1), donc P(x) >= 1/2^(n-1) en ce point...

Merci .

Il y a encore un point ou je suis bloqué:
Montrer que ||P||=1/2^(n-1) => P=1/2^(n-1)*Tn. Je reste .

ben tu peux remplacer tous les positifs/négatifs dans ce que j'ai écrit par des strictement positifs/négatifs, donc P(x) > 1/2^(n-1) (ça n'est évidemment valable que pour Q non nul)

Je viens de comprendre (enfin ). Merci !

"tu vas avoir au moins un couple (i,j) tel que xi<=qj<=q(j+1)<=x(i+1), "
Tu pourrai me détailler ce point stp, j'ai du mal à suivre.

Perso j'ai absolument rien compris au post de pollux mais bon ... (et dslé zorrow mais la j'ai pas le temps (ni la motiv a vrai dire) de regarder l'exo ^^)

Ca me rassure un peu .
edit: c'est bon 'jai compris.

et comment on démontre ce coefficient dominant et comment faire pour démontrer la parité du polynôme??

Tu as une relation de récurrence du style tn+2=2Xtn+1-tn
to=1
t1=x
puis par réccurence tu montre que tn(-x)=(-1)^nTn (x)

Merci!