Exo de spé maths. - Page 1

On nous a donné 5 "petits exos" à faire en Spé (on n'a vu que 2 proprietés simplistes en arithmétique à propos de la divisibilité dans Z), et je bloque sur le dernier, dont l'énoncé est :
"Pour n entier naturel non-nul, montrer que 5^n+19 est divisible par 4."
Moi ça me semble évident mais je sais pas comment l'expliquer rigoureusement, donc si vous pouviez me donner des indices pour répondre à la question, merci .

bon déjà c'est équivalent à montrer que 4 | 5^n-1

- vous avez vu les congruences ? si oui 5 congru à 1 mod 4, d'où le résultat
- sinon on peut le montrer par récurrence : 4 | 0 = 5^0-1, et si 5^n - 1 = 4k alors 5^(n+1) - 1 = 5*(5^n - 1) + 4 = 4*(5k+1), divisible par 4
- sinon on peut se servir de la somme d'une suite géométrique : 5^n - 1 = (5-1) * (5^(n-1) + ... + 5^1 + 5^0), divisible par 5-1 = 4

(ça sert à quoi de prendre n non nul , c'est pour tromper l'ennemi ?)

Pollux > Les congruences on a pas encore vu ça, le raisonnement par récurrence de Peano j'ai vu ça pour mon TPE Fractales c'est entré par les yeux et ressorti par, hum .
En fait j'arrive pas à voir pourquoi c'est équivalent de montrer que 4|5^(n-1) (EDIT : Ca c'est bon j'ai trouvé, mais c'est 4|(5^n)-1 ), et ta formule pour calculer la somme des n premiers termes dans une suite géométrique me parrait bizarre .
Encore un peu d'aide siouplait

ben l'idée pour la 3è méthode c'est d'écrire 5^n - 1 comme ça :


vous avez pas vu la somme des termes d'une suite géométrique ?

Ah oui vu comme ça d'accord, parce que le seul souvenir dont j'avais (et après relecture du cours j'avais raison) était la formule suivante :



u0 étant le premier terme, p le nombre de termes :P
Oki doki merci

salut je suis en terminale S!!
j'ai un petit problème sur les suites!!
voila: Un+1=1,004Un+600
et Vn= Un+150000
Il faut démontere que la suite Vn est géométrique!! comment faire,
j'ai essayé en calculant Vn+1 mais ça marche pas!!
jespére qu quelqu'un pourra m'aider!!
mersi d'avance

Essaye de montrer que (Vn) est géométrique de raison 1,004.

V_n+1 = U_n+1 + 150000
V_n+1 = (1.004 U_n + 600) + 150000
V_n+1 = 1.004U_n + 150600
V_n+1 = 1.004 * (U_n + quelque chose)
...

Rusty Frozbite (./6) :
Ah oui vu comme ça d'accord, parce que le seul souvenir dont j'avais (et après relecture du cours j'avais raison) était la formule suivante :



u0 étant le premier terme, p le nombre de termes :P
Oki doki merci

(je suis en retard mais bon tant pis)

ben de ta formule tu déduis trivialement

En prenant u0 = 1 (c'est vrai pour tout u0), tu en déduis la chose suivante :

Et donc tu as ce que tu veux pour q=5 et p=n

Rebloqué, à un truc con en plus...
Prouver par récurrence que 2^(X-1)>X avec X un naturel non nul...
C'est un des rares exos sur les surfaces que j'ai trouvé et je bloque sur un truc basique...de l'aide svp merci

En fait mon problème s'est transformé : y'a-t-il besoin dans un exo de spé de justifier que quelque soit X entier naturel non nul que 2X>=X+1 ?

euh tu peux te permettre de le justifier tellement c'est évident hein : si x est un entier naturel non nul, alors x >= 1, et donc x + x >= x + 1
edit : je veux dire que tu peux te permettre d'utiliser la justification directement sans te donner la peine d'énoncer la propriété. La seule chose qui vaut la peine d'être mentionnée explicitement c'est qu'un entier naturel non nul est forcément plus grand que 1 (et c'est pas nécessaire de le prouver hein ^^)