espace de fonctions complet ? - Page 1

Soit Ca, l'espace des fonctions f réelles continues sur R+ tq

lim exp(a.t)|f(t)|=0.
t->Infini

||f||=sup(exp(a.t)|f(t)|) pour t dans R+.

Il faut montrer que Ca est complet.

ENsuite il faut montrer que lapplication :
T:Ca->Ca
f->gf est continue et que g est continue et bornée.
On a g de R+ dans R tq pour tout f dans Ca, gf est dans Ca.

Jai trop du mal, si quelqu'un peut m'aider...

merci

personen ne peut répondre à aucun de mes 3 problèmes ??

- tu peux pas bêtement dire qu'il y a isomorphisme via l'application de Ca -> C(R+,R,|| ||_infini) : f -> h(t) = exp(-at)f(t) ?
- bah tu prends f(t) = exp(-at), tu regardes gf, et ça te donne que g est continue et bornée
- la multiplication par une fonction continue bornée (= un élément de C(R+,R,|| ||_infini)) est une application continue sur C(R+,R,|| ||_infini), donc via l'isomorphisme du début ça passe tout seul...

bah tu prends f(t) = exp(-at), tu regardes gf, et ça te donne que g est continue et bornée ??

comment, je vois pas.....

je suis une surmerde

ah tiens j'avais pas fait gaffe, ils imposent que la limite en +infini soit 0, donc en fait c'est pas les fonctions continues bornées, mais les fonctions continues qui tendent vers 0 en +infini... ça ne change pas grand-chose à la complétude : il s'agit de l'intersection d'un complet (l'espace des fonctions continues bornées) et d'un fermé (les fonctions tendant vers 0 en +infini : une suite de fonctions qui tendent vers 0 en +infini qui converge uniformément, elle converge vers une fonction qui tend vers 0 en +infini), donc c'est complet

donc du coup exp(-a*t) n'appartient pas à Ca, c'est un peu plus subtil : tu prends h(x) = sup[t<x] |g(t)|, c'est croissant donc ça tend vers une limite finie ou infinie ; qu'est-ce qu'on peut dire de g si c'est fini ? et si c'est infini, qu'est-ce qui se passe si on regarde exp(-a*t)/sqrt(1+h(t)) ?

pour la fin f->gf est borné sur la sphère unité, donc pouf.

Oula oula, je ne te suis plus du tout là.....

exp(-a*t)/sqrt(1+h(t)) ????

h(x) = sup[t<x] |g(t)|, c'est croissant ??
Si g est décroissant, c'est faux, non ?

h(x) = sup[t<x] |g(t)|, c'est croissant : ah oui effectivement.

Si la limite est finie, g est bornée, si elle est infinie, ben g n'est pas bornée.... après je vois pas pkoi tas sortie une fonction de ouf de ton chapeau :
exp(-a*t)/sqrt(1+h(t))


Je pensais prendre exp(-bt) ou b>a, avec ça je montre la continuité mais pour borner, jarrive pas.

ben oui, c'est normal : ce qui se passe et que tu as bien vu, c'est que tu es obligé de diviser exp(-a*t) par une fonction qui tend vers +infini, pour que f soit dans Ca. Le problème, c'est qu'il faut pas que cette fonction tende trop vite vers +infini : si tu prends une exponentielle, g pourrait tendre vers +infini, mais moins vite qu'une exponentielle, ce qui ferait que le résultat g*f tend toujours vers 0 et que tu n'as pas de contradiction... On peut essayer d'améliorer : par exemple si tu prends une fonction de la forme t^epsilon, ça va tendre vers +infini plus lentement, mais g pourrait tendre vers +infini encore plus lentement... Donc l'idée, c'est de prendre une fonction qui tend vers l'infini, mais "un peu plus lentement" que g. Pour ça, sqrt(g) fait parfaitement l'affaire si g tend vers +infini, et va te permettre d'aboutir à la contradiction que tu cherches. Après, on a un léger problème si g ne tend pas bêtement vers +infini, mais s'amuse à alterner entre 0 et +infini : d'où l'idée de passer par h, qui est égale à g quand g est monotone, et quand g n'est pas monotone, "écrête" les valeurs faibles pour pas qu'on ait de problème. Tout va bien, puisque sqrt(h) fait tout aussi bien l'affaire que sqrt(g). Et puis voilà, on est quasiment prêt à écrire le f que j'ai donné, il faut juste faire attention à ce que ça soit bien défini et que le dénominateur ne soit pas nul (c'est pour ça qu'il y a un +1)

J'ai ||T|| sur Ca < ||g|| sur R jarrive pas à savoir quelle fonction f je dois prendre pour avoir l'égalité....

ben il va bien falloir se servir du fait qu'un certain point fait que la norme de g est bien ||g|| et pas autre chose... à partir de là ça devrait pas être trop dur de conclure ^^

Le sujet est quand même bien mal posé. Il faudrait peut être dire précisément ce qu'est le réel a (est-il quelconque ? toujours strictement positif/négatif ?)
et on ne comprend pas bien d'où sort la fonction g. Je suppose qu'il faut commencer par la fin : On a g de R+ dans R telle que .... puis démontrer la continuité de T et de g.

la valeur de a n'a aucune incidence sur ce qu'on veut prouver... (ça pourrait être n'importe quelle fonction continue strictement positive, ça ne poserait pas de pb...)

et oui il faut commencer par la fin pour g ^^