aire+intégrales - Page 1

bonjour à tous!
me revoila avec un nouveau DM qui me pose problème ...


Le but de l'exercice est d'établir dans un cas particulier le lien existant entre aire sous la courbe et primitive. On prendra comme requis la définition suivante : H est une primitive de h sur [a ;b] si et seulement si H est dérivable sur [a ;b] et si pour tout x de [a ;b] on a H'(x)=h(x)

Dans la suite, on note f la fonction définie sur |R par f(t)=ln(t²+1)

1.Expliquer pourquoi f est continue sur [0 ; + l'infini[.

2.Montrer que f est croissante sur [0 ; + l'infini[
Pour £>ou=0, on note A(£) l'aire de la portion de plan limitée par l'axe des abscisses, la courbe représentative de f et la droite d'équation x=£.

3.a. Soit les réels x0>0 et h>0. En utilisant un rectangle convenablement choisi, établir l'encadrement :
ln(1+x0²)<ou= [A(x0+h)-A(x0)]/h<ou=ln[1+(x0+h)²]

b. Quel encadrement peut on obtenir de la même manière pour h<0 et h>ou=-x0 ?

4.Expliquer pourquoi ln(2)<ou=A(2)<ou=2ln(5)



Concernant les questions 1 et 2, c'est bon, j'ai réussi. Mais à partir de la question 3, ça ne va plus ...
Donc si quelqu'un peut m'aider ....!
merci d'avance

Bon, alors, il faut faire un dessin ^^. Tu as dû voir en cours quelle est l'allure globale de la fonction logarithme ? C'est pas la peine de faire un dessin très précis. En fait il faut que tu représentes plus ou moins ce que fait la courbe entre x0 et x0+h : en gros elle monte tout le temps, avec une pente de plus en plus faible. Vu que x0 et h sont quelconques, tu ne peux de toute façon pas faire un dessin exact, mais si ça t'aide d'avoir un vrai exemple prends par exemple x0 = h = 1 (donc tu dessines la courbe entre 1 et 2) ; la seule chose importante à remarquer c'est que la fonction est strictement croissante sur [x0, x0+h] même pour des valeurs quelconques. (N.B. : quand je dis remarquer, ça veut dire que tu devras le remarquer par écrit en rédigeant ton devoir, hein ^^. Et expliquer pourquoi c'est vrai. Sinon on pourra te dire que tu as fait un dessin dans un cas particulier et que tu ne sais pas s'il est toujours valable.)
Maintenant que tu as ce dessin, regarde ce que représente A(x0+h)–A(x0) : en fait c'est l'aire entre la droite verticale d'équation x=x0, celle d'équation x=x0+h, l'axe des abscisses, et la courbe, n'est-ce pas ? donc c'est l'aire d'une surface avec trois côtés droits et un côté courbe ; pas évident de calculer exactement son aire, mais on peut dire que cette surface est plus petite qu'un certain rectangle, et plus grosse qu'un autre rectangle (d'ailleurs l'énoncé est trompeur : il faut DEUX rectangles). Et les rectangles, eux, si tu as la longueur de leurs côtés tu sais calculer leur aire... normalement en regardant ton dessin tu devrais trouver facilement quels rectangles il est logique de tracer .

b. Bon, pour h < 0 le dessin est le même en échangeant x0 et x0+h, donc je te laisse voir comment ça intervient sur la formule
4. Je n'ai pas réfléchi à la question mais ça a l'air d'être juste une application de la formule pour une certaine valeur de x0 et de h