Restitution Organisée de Connaissances... - Page 1

bonjour à tous! et voila, c'est les vacances... voila l'occasion d'avor un nouveau DM à faire!
et encore une fois, ce DM me donne du fil à retordre...

tout d'abord, le 1er exercice :
Partie A : Démonstration de cours
Soit (Un) une suite croissante non majorée.
1. Soit M un nombre réel et n0 un entier naturel tel que Un0 supérieur ou égal à M.
Démontrer que pour tout entier naturel n, si n supérieur ou égal à n0, alors Un supérieur ou égal à M

2. Quelles conséquences peut-on en tirer pour la suite (Un)?

3. Énoncer le théorème du cours ainsi démontré.

Partie B

Répondre par Vrai ou Faux aux propositions suivantes en justifiant chaque réponse :

a. Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers + l'infini.
b. Si une suite est croissante, alors elle tend vers + l'infini.
c. Si une suite tend vers + l'infini, alors elle n’est pas majorée.
d. Si une suite tend vers + l'infini, alors elle est croissante

_________________________________________________________________

j'ai donc répondu :

A/ 1) n supérieur ou égal à n0
Un0 supérieur ou égal à M
donc puisque Un est une suite croissante non majorée, on peut en déduire que Un supérieur ou égal à Un0.
donc puisque Un0 supérieur ou égal à M, et Un0 supérieur ou égal à Un0, on a : Un supérieur ou égal à M

2)on peut donc en déduire que la suite Un est minorée par le réel M.

3)Un est minorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, Un supérieur ou égal à M.

B/ a) FAUX. par exemple, une suite décroissante non majorée peut tendre vers - l'infini, donc lorsqu'une suite n'est pas majorée, elle ne tend pas obligatoirement vers + l'infini.

b) FAUX. par exemple, une suite croissante majorée tend vers un nombre fini et donc ne tend pas vers + l'infini. donc une suite croissante ne tend pas obligatoirement vers + l'infini.

c) VRAI. car si la suite tend vers + l'infini, cela veut dire qu'elle ne tend pas vers un nombre fini, donc qu'elle n'est pas majorée.

d) VRAI. car si elle tend vers + l'infini, cela veut dire qu'elle croît au cours du tps, donc qu'elle est croissante.

_____________________________________________________

voila mes réponses. je ne suis pas sûre de ce que j'ai mis, donc j'aurai aimé que qqn me corrige si j'ai mis des erreurs... :$
merci d'avance!

Julie21 :
A/ 1) n supérieur ou égal à n0
Un0 supérieur ou égal à M
donc puisque Un est une suite croissante non majorée, on peut en déduire que Un supérieur ou égal à Un0.
donc puisque Un0 supérieur ou égal à M, et Un0 supérieur ou égal à Un0, on a : Un supérieur ou égal à M

OK (sauf le 0 qui est en trop, mais c'est juste une faute de frappe j'imagine)

2)on peut donc en déduire que la suite Un est minorée par le réel M.

Non, ça n'est vrai que pour n>=n0... Autrement dit, il faut plutôt chercher du côté des propriétés qui ne dépendent que du caractère asymptotique de (Un) (i.e. les propriétés où les premiers termes n'ont aucune influence sur le résultat). Et un bon exemple de propriété ne dépendant que du caractère asymptotique, c'est la limite : je suppose que vous savez que si (Un) est croissante, elle a tjs une limite (éventuellement infinie). Donc si (Un)_{n>=n0} est minorée par M, qu'est-ce qu'on peut dire de la limite de (Un) ?

3)Un est minorée si et seulement si il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n, Un supérieur ou égal à M.

Oui enfin ça c'est exactement la définition de la minoration, c'est pas vraiment un théorème
(enfin je pense, à moins que vous ayiez vu ça comme un théorème )

B/ a) FAUX. par exemple, une suite décroissante non majorée peut tendre vers - l'infini, donc lorsqu'une suite n'est pas majorée, elle ne tend pas obligatoirement vers + l'infini.

Une "suite décroissante non majorée" ? Tu peux m'en donner un exemple ?
(ça ne veut pas dire que c'est VRAI pour autant, hein ^^)

b) FAUX. par exemple, une suite croissante majorée tend vers un nombre fini et donc ne tend pas vers + l'infini. donc une suite croissante ne tend pas obligatoirement vers + l'infini.

Oui (mais ce serait p-ê plus convaincant si tu donnais un exemple concret de suite croissante majorée, pour montrer qu'il en existe bien)

c) VRAI. car si la suite tend vers + l'infini, cela veut dire qu'elle ne tend pas vers un nombre fini, donc qu'elle n'est pas majorée.

Ah non pour la justification, une suite peut à la fois ne pas tendre vers un nombre fini, et être majorée (et même bornée) :
(u0,u1,...) = (1,0,1,0,1,0,...)
qui est bornée par 1 et ne tend vers rien du tout

d) VRAI. car si elle tend vers + l'infini, cela veut dire qu'elle croît au cours du tps, donc qu'elle est croissante.

Ca veut dire quoi "croître au cours du temps" ?

Pollux
:

Julie21 :
A/ 1) n supérieur ou égal à n0
Un0 supérieur ou égal à M
donc puisque Un est une suite croissante non majorée, on peut en déduire que Un supérieur ou égal à Un0.
donc puisque Un0 supérieur ou égal à M, et Un0 supérieur ou égal à Un0, on a : Un supérieur ou égal à M

OK (sauf le 0 qui est en trop, mais c'est juste une faute de frappe j'imagine)

oui, ça c'était une p'tite faute de frappe! ^^

Non, ça n'est vrai que pour n>=n0... Autrement dit, il faut plutôt chercher du côté des propriétés qui ne dépendent que du caractère asymptotique de (Un) (i.e. les propriétés où les premiers termes n'ont aucune influence sur le résultat). Et un bon exemple de propriété ne dépendant que du caractère asymptotique, c'est la limite : je suppose que vous savez que si (Un) est croissante, elle a tjs une limite (éventuellement infinie). Donc si (Un)_{n>=n0} est minorée par M, qu'est-ce qu'on peut dire de la limite de (Un) ?

euhh... ben la limite de Un qd n tend vers + l'infini, c'est + l'infini! mais je ne vois pas vraiment en quoi cela peut aider pour répondre à la question :$

Oui enfin ça c'est exactement la définition de la minoration, c'est pas vraiment un théorème
(enfin je pense, à moins que vous ayiez vu ça comme un théorème )

nan, on a bien vu ça comme une définition et non pas comme un théorème ^^
mais je viens d'aller chercher dans mes cours, et je ne trouve que la définition... je ne trouve pas de théorème qui fasse intervenir cela

Une "suite décroissante non majorée" ? Tu peux m'en donner un exemple ? (ça ne veut pas dire que c'est VRAI pour autant, hein ^^)

euhhh oui, j'ai peut-être répondu un peu rapidement :$
alors si je mets comme justification "une suite non majorée n'a donc pas de limite finie : elle peut effectivement tendre vers + l'infini, mais également vers - l'infini. donc une suite non majorée ne tend pas obligatoirement vers + l'infini." , ça irait?

Oui (mais ce serait p-ê plus convaincant si tu donnais un exemple concret de suite croissante majorée, pour montrer qu'il en existe bien)

un exemple numérique? genre Un=(4/3)-(1/3)*((1/4)^n) ?

Ah non pour la justification, une suite peut à la fois ne pas tendre vers un nombre fini, et être majorée (et même bornée) :
(u0,u1,...) = (1,0,1,0,1,0,...) qui est bornée par 1 et ne tend vers rien du tout

ah mince... donc ça veut dire que l'affirmation de l'exercice est fausse?

Ca veut dire quoi "croître au cours du temps" ?

oups, je parle peut-être un peu trop comme en physique! ^^
donc pour justifier, il suffit que je mette : "car si elle tend vers + l'infini, cela veut dire qu'elle est croissante." ?

Et donc, tu as fini ton DM sur les intégrales ? :P

A. 2 > mais je pense qu'on te demande de ne pas utiliser ton cours ici (vu qu'il faut le redémontrer), donc ne dis pas tout de suite que la limite est infinie. Justement je pense que le but de l'exercice est de *démontrer* le théorème du cours grâce auquel tu sais que la limite est infinie, donc il faut aboutir au résultat sans utiliser ce théorème.

Quelle est la définition d'une suite qui tend vers l'infini ? si tu regardes cette définition, tu devrais voir une similitude avec la question 1., et pouvoir conclure

B. > globalement ton problème c'est que tu as l'air de penser que soit une suite est croissante soit elle est décroissante, et tu as aussi l'air d'oublier qu'elle n'a pas forcément de limite. Donc pour t'aider dans toutes ces questions, pense à des cas particuliers : par exemple la suite qui fait 0, 1, 0, 1, comme a dit Pollux, mais aussi pourquoi pas une suite qui fait des "vagues" de plus en plus grandes, genre 0, 1, -1, -2, 2, 3, -3, -4, 4, 5 etc. ; il y a plein de possibilités donc réfléchis bien avant de répondre à chaque question.
Et en général, une suite quelconque n'a pas de limite ; c'est assez exceptionnel comme comportement, donc quand tu affirmes qu'une suite a une limite vérifie toujours bien que tu as donné des arguments pour le prouver.

Sinon, généralement dans ce type de questions quand la réponse est VRAI il faut la démontrer et bien la justifier, mais quand la réponse est FAUX on attend plutôt que tu donnes un exemple *concret* de suite qui fait que ça ne marche pas. C'est aussi l'intérêt de penser à des cas particuliers : là, pour le a) et le b), tu as essayé de réfléchir un peu dans l'abstraction en cherchant des propriétés qui contredisent les affirmations, mais c'est plus simple en général d'essayer de construire une "vraie" suite qui va contredire l'affirmation.

C'est d'ailleurs ce qu'a fait Pollux dans le post 1 : tu affirmes que « si une suite ne tend pas vers un nombre fini, elle n'est pas majorée », et pour te montrer que c'est faux, il a défini une suite qui montre que ça ne marche pas. C'est la même chose qu'on attend de toi quand tu dis qu'une affirmation est fausse.

Donc pour le a), tu vois, tu n'as pas cherché d'exemple concret et du coup tu as parlé de « suites décroissantes non majorées », ce qui n'existe pas, et tu ne t'en es pas aperçue ^^. Ta nouvelle justification c'est de dire qu'il y a des suites non majorées qui tendent vers - l'infini, mais, tu es sûre qu'il en existe, de celles-là ? essaye plutôt de construire une suite non majorée qui ne tend pas vers l'infini (indice : je te rappelle ce que j'ai dit tout à l'heure comme quoi la plupart des suites n'ont pas de limite du tout )

b) oui voilà, exactement

c) non c'est juste ta démonstration qui est fausse . Essaye de regarder la phrase dans l'autre sens éventuellement : « si une suite tend vers l'infini, alors elle n'est pas majorée », c'est la même chose que : « si une suite est majorée, alors ... »
La deuxième phrase devrait être plus facile à montrer (même si c'est possible aussi de montrer la première sans la retourner, hein, mais c'est moins évident disons ^^)

d) ben, tu te rappelles la définition d'une suite croissante ? ça dit que POUR TOUT n, on a Un+1 >= Un, non ?
alors que quand tu dis « ça croît au cours du temps », c'est pas très mathématique, c'est juste une vague impression comme quoi « globalement » elle a plutôt tendance à croître, mais est-ce que tu es sûre qu'elle est *tout le temps* croissante ? si oui, il faut le montrer .

Sally
: Et donc, tu as fini ton DM sur les intégrales ? :P

oui :$ désolée de ne pas être revenue sur le forum pour le dire...
j'ai réussi à le faire en demandant de l'aide à des gens de ma classe, donc ça a été!

A. 2 > mais je pense qu'on te demande de ne pas utiliser ton cours ici (vu qu'il faut le redémontrer), donc ne dis pas tout de suite que la limite est infinie. Justement je pense que le but de l'exercice est de *démontrer* le théorème du cours grâce auquel tu sais que la limite est infinie, donc il faut aboutir au résultat sans utiliser ce théorème.
Quelle est la définition d'une suite qui tend vers l'infini ? si tu regardes cette définition, tu devrais voir une similitude avec la question 1., et pouvoir conclure

ben... une suite qui tend vers l'infini est une suite divergente... mais là j'ai l'impression qu'on n'avance pas beaucoup...

Donc pour le a), tu vois, tu n'as pas cherché d'exemple concret et du coup tu as parlé de « suites décroissantes non majorées », ce qui n'existe pas, et tu ne t'en es pas aperçue ^^. Ta nouvelle justification c'est de dire qu'il y a des suites non majorées qui tendent vers - l'infini, mais, tu es sûre qu'il en existe, de celles-là ? essaye plutôt de construire une suite non majorée qui ne tend pas vers l'infini (indice : je te rappelle ce que j'ai dit tout à l'heure comme quoi la plupart des suites n'ont pas de limite du tout )

oulala je ne vois vraimen pas...
dans mon esprit, ou bien une suite est croissante majorée, et donc tend vers un nombre fini ; ou bien une suite croissante est non majorée, et donc tend vers + l'infini.....
donc c'est sûrement pour ça que je m'embrouille! ^^
mais là j'ai beau chercher dans mes cours et dans des livres des exemples, je ne trouve pas d'exemple de suite croissante non majorée...

c) non c'est juste ta démonstration qui est fausse . Essaye de regarder la phrase dans l'autre sens éventuellement : « si une suite tend vers l'infini, alors elle n'est pas majorée », c'est la même chose que : « si une suite est majorée, alors ... » La deuxième phrase devrait être plus facile à montrer (même si c'est possible aussi de montrer la première sans la retourner, hein, mais c'est moins évident disons ^^)

oki... donc en fait, si on prend l'affirmation inverse "si une suite est majorée, alors elle ne tend pas vers + l'infini" on peut dire que cette affirmation est juste, puisqu'on sait qu'une suite majorée par un réel M converge vers une limite inférieure ou égale à M. donc on peut en déduire que l'affirmation proposée est vraie?

d) ben, tu te rappelles la définition d'une suite croissante ? ça dit que POUR TOUT n, on a Un+1 >= Un, non ? alors que quand tu dis « ça croît au cours du temps », c'est pas très mathématique, c'est juste une vague impression comme quoi « globalement » elle a plutôt tendance à croître, mais est-ce que tu es sûre qu'elle est *tout le temps* croissante ? si oui, il faut le montrer

euh... là je sais pas trop quoi répondre... parce qu'il existe des suites qui peuvent tendre vers + l'infini, sans pour autant être croissante sur tout le domaine où elles sont définies?


je suis vraiment désolée, mais là j'avoue que je peine pas mal pour ce DM..
merci beaucoup de votre aide

oki... donc en fait, si on prend l'affirmation inverse "si une suite est majorée, alors elle ne tend pas vers + l'infini" on peut dire que cette affirmation est juste, puisqu'on sait qu'une suite majorée par un réel M converge vers une limite inférieure ou égale à M. donc on peut en déduire que l'affirmation proposée est vraie?

Oui, exactement (ça s'appelle un raisonnement par contraposition). Bon, je n'ai pas le temps de répondre davantage ce soir...

Pour détailler ma réponse précédente : tu as montré qu'une suite majorée ne peut pas tendre vers l'infini et tu veux en déduire que l'affirmation proposée est vraie. Il suffit pour cela de dire : soit une suite qui tend vers l'infini. Si elle était majorée, alors elle ne tendrait pas vers l'infini, comme on vient de le montrer ; donc ça ne peut pas être le cas puisqu'on a dit qu'elle tendait vers l'infini.
Tu peux aussi dire que tu fais un raisonnement par contraposition, voire ne rien dire du tout, mais évidemment il vaut mieux détailler le raisonnement pour être sûre de ce que tu dis (si on applique des règles sans bien les comprendre, on risque de se tromper).

a. Si une suite n’est pas majorée, alors elle tend vers + l'infini.

Le problème c'est que tu raisonnes uniquement en termes de suites croissantes ou décroissantes. Mais une suite peut n'être ni croissante ni décroissante (cela signifie que tantôt elle monte, tantôt elle descend). Bon, maintenant, que veut dire le fait qu'une suite n'est pas majorée ?

Une suite est non majorée si elle n'a pas de majorant, c'est-à-dire si aucun nombre n'est un majorant de cette suite. Pour qu'un nombre M ne soit pas un majorant de la suite, il suffit que CERTAINS termes de la suite soient supérieurs à M. Donc pour qu'une suite soit non majorée, il suffit que pour tout nombre M la suite contienne DES termes supérieurs à M.

Que veut dire le fait qu'une suite tend vers l'infini ? cela signifie que pour tout nombre M, TOUS LES termes de la suite à partir d'un certain n0 sont supérieurs à M.

Donc si tu cherches une suite qui n'est pas majorée et qui ne tend pas non plus vers l'infini, il faut qu'il existe des termes aussi grands qu'on veut *mais* il faut qu'ils ne deviennent jamais *tous* grands, c'est-à-dire que même quand tu avances dans la suite il reste toujours des termes petits. Tu vois comment faire maintenant ? il suffit par exemple de faire un terme sur deux qui est de plus en plus grand, pour qu'elle ne soit pas majorée, et un terme sur deux qui reste toujours petit, pour qu'elle ne tende pas vers l'infini.

d. Si une suite tend vers + l'infini, alors elle est croissante

Ben, une suite qui tend vers l'infini, ça veut dire que si on avance suffisamment dans la suite, ça va toujours devenir plus grand (d'où l'impression que « globalement » ça croît). Mais ça ne te dit absolument pas ce qui se passe avant « suffisamment », ni même combien vaut « suffisamment ». Tu sais que si tu prends un M il existe un certain n0 à partir duquel tous les termes de la suite seront supérieurs à M, mais d'abord n0 ça peut être n'importe quel nombre, et ensuite la suite elle peut faire ce qu'elle veut pour n < n0, ça ne l'empêchera pas de tendre vers l'infini.

Par exemple si tu prends une suite telle que u₁₀ = 10 et u_n = n pour n > 10, et entre u₀ et u₁₀ on ne sait pas ce qui se passe, ben, elle tend vers l'infini non ? mais est-ce qu'elle est forcément croissante ?

Julie21 :

A. 2 > Quelle est la définition d'une suite qui tend vers l'infini ? si tu regardes cette définition, tu devrais voir une similitude avec la question 1., et pouvoir conclure

ben... une suite qui tend vers l'infini est une suite divergente... mais là j'ai l'impression qu'on n'avance pas beaucoup...

Non, non, la définition... une suite divergente, ce n'est pas la même chose qu'une suite qui tend vers l'infini : une suite qui ne tend vers rien du tout, elle est divergente aussi. Vous n'avez pas vu une définition qui dit qu'une suite tend vers l'infini si pour tout nombre M, il existe un certain n0 tel que pour tout n >= n0, u_n >= M ? je pense que si

Bon, maintenant, qu'est-ce qu'on a fait dans le 1 ? on a pris un nombre M quelconque et on a dit que si on trouvait n0 tel que u_n0 > M, alors pour tout n >= n0, u_n >= M. Comme M est quelconque, on a presque montré que la suite tendait vers l'infini ; la seule chose qui manque, c'est d'être sûr que pour tout M on va bien réussir à trouver un n0 tel que u_n0 > M. Comment montrer ça ? dans la question 1, tu as utilisé le fait que la suite était croissante, il faut maintenant utiliser l'autre hypothèse .

Je vais donner ici quelques exemples de suites, essaye de déterminer leurs propriétés (parmi : croissantes, décroissantes, tendant vers un réel, tendant vers plus ou moins l'infini, bornées), tu verras que la faune des suites est bien plus importante que tu ne le crois :

1 2 3 4 5 6 7 8 ...

1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 ...

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 ...

-1 -1/2 -1/3 -1/4 -1/5 -1/6 ...

1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 ...

1 -1/2 1/3 -1/4 1/5 -1/6 ...

1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 ...

-1 0 -2 0 -3 0 -4 0 -5 0 -6 0 -7 0 -8 0 ...

1 -2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 ...

1 0 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 6 ...

-1 0 -2 -1 -3 -2 -4 -3 -5 -4 -6 -5 -7 -6 ...

Oui, attention, si tu continues, Professeur Sally va devoir faire un mot à faire signer par tes parents nan mais je comprends parfaitement que ça soit presque aussi chiant que les news supprimées du blog d'Orion, hein ^^

Dis donc, t'es en forme aujourd'hui Pollux

En forme de quoi ?

(test) (si j'ai bien compris)

tiens quand j'ai posté je me suis dit que tu pourrais répondre ça ... et puis après je me suis dit non, c'était quand même vraiment trop naze

(ui en l'occurrence j'aurais pu dire test, par contre je ne vois rien qui puisse laisser entendre que toi tu puisses le dire, sally)

Ben je me suis volontairement abstenu de poster quoi que ce soit après ton post pour qu'il réponde ça, et ça a marché

Ben je pensais que Moumou avait fait exprès en fait