Petite énigme pour les matheux - Page 1

Voilà une petite énigme sur laquelle je sèche.
Peut-être qu'elle intéressera les matheux, j'aimerais obtenir sa solution (par une démonstration).

Soit un jeu de 81 cartes. Sur chacune d'elles, il y a un dessin dont on peut extraire 4 caractéristiques comportant chacune 3 déclinaisons (ce qui fait bien 3⁴ combinaisons) :
- Le motif (ellipse, carré ou triangle)
- La couleur (bleu, rouge ou vert)
- Le nombre fois où le motif est répété sur le dessin (1, 2 ou 3)
- La façon dont il est colorié (vide, grain, ou plein)

Combien de cartes dois-je tirer au minimum pour être sûr d'obtenir au moins un triplet de cartes où chaque caractéristique (motif, couleur, nombre, texture), prise une à une, sera soit différente sur chaque carte du triplet, soit identique ?

Exemple de triplet répondant aux conditions :
3 carrés bleus pleins, 2 carrés rouge pleins, 1 carré vert plein : le nombre de motif est toujours différent, le motif est toujours identique, la couleur est toujours différente et la texture est toujours identique.

Exemple de triplet incorrect :
3 carrés bleus pleins, 2 carrés rouges pleins, 1 triangle vert plein : le motif des deux premières cartes est le même, mais il est différent de celui de la troisième carte.

Bonne chance !

Bon je sais pas si c'est juste ni rigoureux mais on va essayer : d'après les conditions, à tout couple de cartes correspond une unique troisième carte qui convient. Si on prend N cartes, on peut former N*(N-1)/2 couples (combinaisons de 2 parmi N), à chacun de ces couples correspond une seule carte. À cause d'injectivité [¹] (j'ai du mal à l'expliquer, du coup c'est ptêt faux), je crois que si N*(N-1)/2 > 81-N alors il y aura forcément un triplet qui marche dans tes N cartes. Si c'est bon, alors il faut 14 cartes (13*12/2<81<14*13/2)

edit: [¹] je dirais que à tes N*... couples correspond donc N*... cartes dont certaines se trouvent forcément dans l'ensemble de tes N cartes s'il "n'y a pas la place" dans l'ensemble de celles que tu n'as pas choisies

J'aime bien ton idée
Elle me paraît juste, sauf qu'on trouve 13 comme résultat, pas 14 non ?

D'où, N >= 13, car 13*14 > 162.

C'est marrant, parce que j'étais persuadé que 12 cartes suffisaient...
Alors dans ce cas, quelle est la probabilité de trouver un triplet répondant aux conditions indiquées en ./1 lorsqu'on tire 12 cartes aléatoirement dans le paquet ?

Sasume :


Tu cherchais surement le « ==> » .

nTOME> ton raisonnement ne tient pas debout -- l'application qui à un couple de cartes associe la carte manquante (dans un jeu sans triplet valide) n'est pas du tout injective je peux très bien avoir (carré-bleu-1-vide,triangle-bleu-1-vide) auquel il manque ellipse-bleu-1-vide et (ellipse-bleu-2-vide,ellipse-bleu-3-vide) auquel il manque aussi ellipse-bleu-1-vide...


D'ailleurs c'est facile de construire un contre-exemple : l'hypercube {ellipse,carré}-{bleu,rouge}-{1,2}-{vide,grain} est constitué de 16 cartes sans aucun triplet valide (bon ok, la probabilité de tomber sur un hypercube quand on prend 16 cartes au hasard est de 1 chance sur 6.5 milliards )

J'ai bien l'impression qu'il n'existe pas de meilleur contre-exemple (i.e. que quand on prend 17 cartes on est sûr d'avoir un triplet valide), mais ça me paraît pas trivial à démontrer... Enfin on peut quand même formaliser un peu le problème : l'espace des cartes est (Z/3Z)^4, et dans cet espace la notion de triplet valide est un concept extrêmement simple mathématiquement : un triplet valide est simplement une droite affine de (Z/3Z)^4. Ensuite on peut définir un hypercube comme une transformation affine de l'hypercube unité (0,0,0,0)-(0,0,0,1)-(0,0,1,0)-(0,0,1,1)-(0,1,0,0)-... : c'est assez clair que comme les droites affines sont stables par transformation affine tous les hypercubes sont sans triplet valide Ce qu'on voudrait démontrer, c'est la réciproque : si un ensemble de points ne contient pas de droite affine alors il est contenu dans un hypercube (ou de façon équivalente si un ensemble de points est maximal parmi les ensembles ne contenant pas de droite affine alors c'est un hypercube), mais là j'ai pas trop le temps d'y réfléchir ^^

Pollux
: ton raisonnement ne tient pas debout -- l'application qui à un couple de cartes associe la carte manquante (dans un jeu sans triplet valide) n'est pas du tout injective

si tu t'attaches à des détails comme ça aussi ... (non effectivement c'est monstrueux, j'ai confondu un paquet de trucs )

après j'ai du mal à comprendre, t'as bien que des hypercubes de 16 cartes ?

Oui, il veut montrer qu'avec 17 cartes, comme tu ne peux pas être inclus dans un hypercube, tu as automatiquement un triplet valide

j'adore se forum, quand une personne vient pour lire l'enigme ou on est super actif pour prouver qu'on est intelligent... ba... la
je suis idio lol nan je deconne, nan serieu sa en gete pas mal lol!!
voici mon beau copie colé pour montrer que j'en suis capable ===> je sor...