exponentiel, ln.. - Page 1

bonjour à tous , voila j'ai exo a faire qui m'a paru simple au début mais tout compte fait je m'embrouille , j'ai essayé de faire mais c'est pa fameux , j'éspére que vous pourrez m'aider
merci d'avance

g(t)=(1-e^(-t))lnt pour 0<t<1
g(0)=0

1.démontrer que lim(t tend 0)1-e^(-t)/t=1
je l'ai démontrer

2.a)démontrer que g est continu sur (0,1).

ça je n'y arrive pas, je pense qui faut prouver que g est dérivable en 0 et en 1 donc étudier la limite en 0 et en 1 de :
(1-e^(-t))lnt / t mais le lnO n'existe pas et ca me pose probléme

b)étudier la dérivabilité de g sur (0,1) et démontrer que pour tout réel t de )0,1) g'(t)=(e^-t/t)/(tlnt+e^t-1)

g'(t)= e^(-t) ln t + (1-e^(-t)/t mais meme en mettant tout sur le meme dénominateur je trouve la relation demandé

3. f(t)=t ln t + e^t -1 définie sut )0,1)

a)étudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'

j'ai trouvé f'(t)=lnt+1+e^t
donc f' est du signe de lnt donc f est décroissante sur )0;1) et f(1)=e-1

b)montrer que f' s'annule une fois sur l'intervalle )0;1) en un point t0
c'est 1?

c)en déduire le signe de f'(t) et le sens de variation de f sur )0,1). En déduire que f ne s'annule qu'une seule fois sur )0;1) pour une valeur t1
f'(t) est négative

amelsm (./1) :

1.démontrer que

lim (1-e^(-t)/t)=1 
t>0

je l'ai démontrer

Ah bon?? Ca n'est pas -infini??? (en se placant a droite)

./2 > Non c'est juste.

2.a)démontrer que g est continu sur (0,1).

ça je n'y arrive pas, je pense qui faut prouver que g est dérivable en 0 et en 1 donc étudier la limite en 0 et en 1 de :(1-e^(-t))lnt / t mais le lnO n'existe pas et ca me pose probléme

Alors d'abord on dit que g est continue sur ]0,1] (ça c'est facile) et ensuite on montre que g est continue en 0.

Pour ça, il faut montrer que la limite de g(t) quand t tend vers 0 est égale à g(0).

Donc effectivement on a à calculer lim(1-e^(-t))lnt quand t tend vers 0.

Pour pouvoir utiliser la question 1), on peut penser à écrire :

(1-e^(-t))lnt = [ (1-e^(-t))/t ] * [ t*lnt ]

A toi de conclure... :-)

b)étudier la dérivabilité de g sur (0,1) et démontrer que pour tout réel t de )0,1) g'(t)=(e^-t/t)/(tlnt+e^t-1)
g'(t)= e^(-t) ln t + (1-e^(-t)/t mais meme en mettant tout sur le meme dénominateur je trouve la relation demandé

Il reste à étudier la dérivabilité de g en 0, non?

3. f(t)=t ln t + e^t -1 définie sut )0,1)

a)étudier le sens de variation et les valeurs aux bornes de f'

j'ai trouvé f'(t)=lnt+1+e^tdonc f' est du signe de lnt donc f est décroissante sur )0;1) et f(1)=e-1

La valeur de f' est bonne, mais attention, f' n'est pas toujours du signe de ln(t). Par exemple, à la calculatrice, f'(0,9) est positif, alors que ln(0,9) est négatif.

En fait, on demande de redériver f' pour pouvoir étudier ses variations !
(Et normalement on trouve que f' est croissante)

- La valeur de f'(1)=e-1 est bonne
- Mais il faut aussi calculer la limite de f'(t) quand t tend vers 0.

b)montrer que f' s'annule une fois sur l'intervalle )0;1) en un point t0c'est 1?

Ben f'(1) = ln1 +1 -e^1 = 1-e est différent de 0.
Donc t0 n'est pas égal à 1.
En fait on ne peut sûrement pas donner la valeur exacte de t0, on peut juste montrer qu'il existe.

Pour ça :
- f' est continue
- f' est strictement croissante.
- que vaut la limite de f' en 0 ? Est ce qu'elle est positive ou négative?
- que vaut f'(1) ? Est-ce que f'(1) est positif ou négatif?
- Et donc?

c)en déduire le signe de f'(t) et le sens de variation de f sur )0,1). En déduire que f ne s'annule qu'une seule fois sur )0;1) pour une valeur t1f'(t) est négative

Non, f'(t) n'est pas toujours négative.

A l'aide de la question b), et comme on sait que f' est strictement croissante, alors :

f'(t) est négative quand t<t0
f'(t) est positive quand t>t0

Et à partir de là on peut trouver les variations de f...

dal (./2) :

amelsm (./1) :

1.démontrer que

lim (1-e^(-t)/t)=1
t>0

je l'ai démontrer

Ah bon?? Ca n'est pas -infini??? (en se placant a droite)

Hippopotame (./3) :
./2 > Non c'est juste.

Tu en es sûr ?

Ah, c'est parce qu'il manque une parenthèse :

c'est

amelsm s'est trompée dans les parenthèses, il s'agit de (1–e^–t)/t
(cross)

je ne sais pas trop comment ce genre de forum fonctionne mais j'ai également un probleme avec une equation en maths...
il faut que je trouve que 1-exp ((i*pi)/n)puissance (n-1)=2 aidez moi, je ne sais meme pas comment utiliser les symboles!

http://prettyprint.free.fr/ (x puissance y s'écrit x^y)
sinon je pense que c'est "puissance n", pas "puissance (n-1)" non ? (sinon ça ne marche pas)