Prouver une biject° en BASIC. - Page 1

Oui , toujours pour mon programme d'étude de fonction, j'aimerai rajouter un menu "Bijection", où l'on demanderait les bornes d'un intervalle a,b (de l'intervalle [a;b]), et ensuite le prog prouve si la fonction réalise une bijection de [a;b] dans [f(a);f(b)] ou si elle n'en réalise pas.

Pratique pour prouver qu'une fonction n'a qu'une racine ect ...

Le problème c'est que le théorème mathématique demande de vérifier des ensembles de dérivablilité ect, stricte monotonie, donc comment traduire ça en BASIC ?

ex : f(x)= racine(x).
Il faut pas que mon prog se plante en disant "f réalise une bijection de [-50;-21]" (par exemple) ...

il faut pas qu'il se plante pour tout en gros !!!!

Merci pour ceux qui chercheront et m'aideront un peu.


PS : ne me dites pas d'aller voir les progs existant svp, ils se plantent presque tous pour des truc classiques (ex : il me sorte tous une bijection pour racine(x) sur ]-oo;+oo[ alors qu'elle n'est réalise pas ...)

Pour les bornes, ça n'est pas compliqué, il suffit de les comparer.
Par contre, en ce qui concerne la démonstration de la stricte monotomie sur un intervalle, tu peux prendre la dérivée, utiliser résol ou solve pour trouver ses racines, et en déduire si son signe est constant sur l'intervalle étudié ...
Je vais essayer de faire un petit programme ce soir

>ex : f(x)= racine(x).
>Il faut pas que mon prog se plante en disant "f réalise une bijection de [-50;-21]" (par exemple) ...

Mais f réalise effectivement une bijection de [-50;-21] sur {iy|y appartient à [21^(1/2);50^(1/2)]}. Mais c'est hors programme, même en Terminale.

Et racine(x) réalise aussi une bijection de ]-oo;+oo[ sur [0;+oo[ U {iy|y appartient à [0;+oo[}. Plus généralement, racine(x) réalise une bijection de C sur {re^(iq)|r appartient à |R+ et 0<=q<pi}.

Mais ce sont des fonctions à valeurs complexes, et la dernière généralisation est même une fonction de complexes à valeurs complexes (totalement hors programme).
[edit]Edité par Kevin Kofler le 12-01-2002 à 19:46:51[/edit]

Effectivement
Racines de nombres complexes : programme de maths sup.
(cf. ici).

Il n'y a même pas les valeurs principales des racines dans ton lien... Probablement parce que les Français n'ont pas l'air de les utiliser. Et donc la fonction racine de C dans C que j'ai utilisée ne semble même pas être au programme de Math Sup...

La notation racine(z) a un sens très précis: le nombre z' tel que z'²=z et 0<=arg(z')<pi. Et c'est utilisé partout sauf en France, apparemment.
[edit]Edité par Kevin Kofler le 12-01-2002 à 20:22:51[/edit]

C'est curieux . J'ai cherché sur un bouquin de MPSI et ils se trouve qu'ils n'en parlent pas non plus. Ils disent juste "admet n racines-nièmes".
Je pense qu'en Maths Sup., le prof. en parle quand même. De toute façon, ce n'est pas très compliqué à comprendre ...

Merci pour vos réponses ...

En effet Kevin, je n'ai pas préciser que je parlais de bijection dans R !!! Dans les complexes j'en sais rien je ne suis qu'en 1èreS ...

Merci ZdRUbAl si tu cherches ce soir ...

En fait il faut prouver ça pour prouver la bijection :

f dérivable sur l'ensemble où on cherche la bijection (donc prouver une dérivabilité sur tout un ensemble).
f strictement monotone sur l'ensemble demandé (donc dérivée puis signe, ça devrait se faire sans trop de prob).

Et ensuite on peut conclure que f(x) (avec x appartenant à l'intervalle demandé) n'a qu'une unique image, et surtout que f(x)=a (avec a appartenant à [f(1èreborne) ; f(2èmeborne)]) n'a qu'un seul antécédant, donc f(x)=a n'a qu'une seule solution.

Vala, j'ai dis mon cours ...

En fait ce qui me gène, c'est la dérivablilité sur l'intervalle , comment la vérifier ?
Avec une boucle For ... EndFor, en regardant si y'a pas de undef ?? (un peu long si l'etendue de l'intervalle est >5).
Moi j'en sais rien ...

>En fait ce qui me gène, c'est la dérivablilité sur l'intervalle , comment la vérifier ?

Tu t'en fiches de la dérivabilité. La continuité et le fait que la dérivée ne change pas de signe (en ignorant tout simplement les point de non-dérivabilité) suffit, et les seules fonctions que tu risques de rencontrer en 1ère et qui ne sont pas continues, ce sont ceux ayant un pôle (division par 0). Et ça se répère par un solve(1/f(x)=0,x). Mais évidemment, sur une fonction de style when(x<0,x+10,x-10), ça ne va pas marcher. Si tu veux que ce genre de choses marche, c'est moins facile.

Non non, la technique est de faire par composition de fonction usuelles d'ensemble de dérivabilité connu.
Pour quasiment toutes les fonction usuelles, l'ensemble de définition est le même que l'ensemble de définition.
Mais il y a des exceptions, comme la fonction x|->sqrt(x) qui est définie sur R+ mais dérivable seulement sur R+* (ou plutôt sur ]0;+oo[ car il s'agit d'intervalles).

Vi, mais n'èmpèche qu'on doit prouver qu'une fonction est continue/dérivable sur un ensemble pour prouver la bijection, donc comment faire ?
On bluffe et on dit qu'elle l'est (sans même chercher à calculer ?) ou on effectue des test ou un prgm cherchant l'ensemble de définition d'une fonction ?

Difficile ...

Su TI-CAS, il y a des fonctions permettant de déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
Dans la très grande majorité des cas (je pense que pour ton programme ça suffira amplement) pour démontrer qu'une fonction est dérivable sur un intervalle, tu regardes que cet intervalle soit inclus dans l'ensemble de définition de la fonction dérivée de la fonction étudiée.

T'as pas le nom d'un bon prog pour les ensemble de def stp ?

[>singular(f(x));

non merde ya pas ca sur ti

et au passage, pour toi, elle est continue si elle est dérivable. La continuité à été supprimée du prog de Term il y a 4 ans.

Pour les racines complexes, on a vu ça en sup avec toute la méthode, mais il n'y avait pas la racine complexe. C'était deux racines à -1 près.