Si tu diagonalises, ça veut dire qu'il existe une base de vecteurs propres, c'est à dire une base de vecteur (xi), telle que pour tout i, il existe lambda_i dans |K, tel que M.xi = lambda_i*xi.
En gros, M se comporte comme une homothétie dans la direction de xi. Les valeurs propres de M, c'est l'ensemble des lambda_i.
Et diagonaliser la matrice, c'est déterminer la matrice de l'endomorphisme dans cette base de vecteurs propres, ça la rend bien plus simple.
NB : Par contre même si ça permet d'obtenir les valeurs propres et vecteurs propres de ta matrice, ce n'est vraiment pas la meilleure solution.
I'm on a boat motherfucker, don't you ever forget
Mais c'est quoi une valeur propre, concrètement ?
par exemple, en info/num les valeurs propres vont te dire si ta matrice est bien proportionnée ou pas (rayon spéctral)
si oué, tu pourras inverser, toussa
Comme dit Moumou, si tu définis le sous-espace propre Eλ d'un scalaire λ comme étant l'ensemble des éléments x tels que φ(x) = λ.x, ça veut dire que φ va se comporter comme une homothétie sur le sev Eλ; c très utile, parce que ça veut dire que si tu composes φ avec elle-même, sur Eλ φ²(x) = λ².x (et ainsi de suite pour les puissances n-ièmes), ce qui est bien plus simple que la composition dans le cas général (surtout pour les puissances n-ièmes, où c'est "impossible" d'avoir une formule générale autrement que par la diagonalisation). Cela dit, pour éliminer les cas inintéressants, on va déjà virer tous les Eλ qui sont égaux à {0}, et on va appeler les λ restants "valeurs propres". A partir de là, tu vas avoir deux propriétés très utiles : les Eλ sont deux à deux d'intersection nulle (et donc les λ sont en nombre fini si tu es en dimension finie!), et si tu es sur un corps algébriquement clos (par exemple, les complexes), alors E est la somme de tous les Eλ, c'est-à-dire que tu vas pouvoir recouvrir ton espace avec les Eλ, et même mieux, puisque l'intersection de deux Eλ est nulle, E va être la somme directe de tous les Eλ, c'est-à-dire que tu vas pouvoir décomposer de manière unique n'importe quelle élément de l'ensemble en somme d'éléments de plusieurs Eλ. Et donc, tu peux écrire, pour n'importe quel x dans E, φ(Σ(xλ)) = Σ(λ.xλ), qui va avoir plein de propriétés, notamment que tu peux facilement calculer les puissances n-ième, la racine carrée, etc...
Après, les vecteurs propres sont les vecteurs de Eλ-{0}, et pour avoir la matrice diagonalisée il suffit d'exprimer φ dans une base de E qui est composée de réunion de bases des Eλ (une base de vecteurs propres, quoi).
« The biggest civil liberty of all is not to be killed by a terrorist. » (Geoff Hoon, ministre des transports anglais)
Fourbe !
42 ayant pour propriété de n'avoir aucune propriété, c'est dur.
Les droits inaliénables du troll :
1) le droit d'avoir raison
2) le droit d'être péremptoire
3) le droit de ne pas lire
4) le droit de ne pas répondre
5) le droit d'être de mauvaise foi
6) Autant pour moi / Faignant / Vivent Tintin et Milou
Nhera Le 16/12/2004 à 12:35 42 a la propriété d'etre égal à 42, et c'est deja pas mal !
quand à la propriété 42 presque partout, c'est la possibilité de valoir 42 ou pas...
suffit que l'ensemble qui contient des nombres différents de soit négligeable par une certaine mesure :]
Il manque un dans ta phrase...
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(faut dire, j'ai pas fait d'algèbre linéaire depuis la prépa...) Merci, oui c'est vrai que si M est diagonalisable... Sur un corps algébriquement clos, on sait juste que M est trigonalisable 
tu denigres un peu vite mon opérateur, je suis sur qu'il a des propriétés très interessantes qui ne "servent à rien" 
(et qui tiennent compte du fait que c'est 42 et 123 et pas juste un nombre pair et un nombre premier avec 42, évidemment ^^)