ROC (prommesses tenues ?) :
d) Intégration par partie :
On sait que u et v étant deux fonctions fonctions dérivables,
on a (u.v)' = u'.v + u.v'
Donc, u.v'= (u.v)' - u'.v
On en déduit, si u' et v' sont continues (donc intégrables) que :
·(u(t)v'(t),t,a,b) = ·((u.v)'(t),t,a,b) - ·(u'(t)v(t),t,a,b)
(par linéarité)
D'où, pour u et v dérivables à dérivées continues sur un intervalle I contenant a et b :
·(u(t)v'(t),t,a,b) = [uv](a,b) - ·(u'(t)v(t),t,a,b)
&=
e) Intégrale :
&Pmain/a
Soit h > 0, alors,
h*f(x0)œA(x0+h)-A(x0)œh*f(x0+h)
(on a encadré la différence entre les aires de deux rectangles)
D'où
f(x0)œ(A(x0+h)-A(x0))/hœf(x0+h)
or
lim(f(x0+h),h,0) = f(x0)
car f est continue.
On en déduit, d'après un thm des gendarmes que :
lim((A(x0+h)-A(x0))/h,h,0)=f(x0)
donc la fonction A est dérivable à droite en x0.
On montre par un raisonnement similaire, avec h<0 que A est dérivable à gauche en x0. et on a A'=f(x0) donc a est primitive de f sur [a,b]
&=
f) Suites :
a) Toute suite croissante et non majorée diverge vers +inf ?
Toute suite décroissante et non minoréee diverge vers -inf ?
Supposons (un) croissante et non majorée. Soit A>0, on doit montrer qu'il existe un rang à partir duquel tout les termes de la suite sont supérieurs à A.
1) (un) n'est pas majorée, donc ¦u€ on a u€ > A
2) (un) est croissante, donc ¦nž€ on a un > A
Il en découle bien que à partir du rang €, tout les termes de la suite sont supérieur à A.
&-
b) Si deux suites sont adjacentes alors elles sont convergentes et ont même limite ?
&Pmain/b
Avec les notations du croquis, (un) est croissante et majorée par v0 donc elle converge vers un réel l.
De même pour (vn) décroissante et minorée par u0 qui converge vers l'.
De plus, lim(vn-un) = 0 (par définition de deux suites adjacentes) donc lim(vn) -lim(un)=0 soit l-l'=0 donc l=l'.
&=
h) Exponentielle :
On s'intéresse aux fonctions f définies et dérivables sur R telles que f'=f et que f(0)=1 (*)
On sait qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R (on a pris j(x)=f(x)*f(-x) dont la dérivée est constante comme f'=f, puis comme j(0)=1*1=1, on savait que f(-x)*f(x)=1, donc la fonction f ne s'annule pas) et que cette fonction est à valeurs strictements positives (la fonction est continues sur R car dérivable, donc pour passer dans le negatif, selon le théorème des valeurs intermédiaires, elle aurait dû passer par 0, ce qui est impossible).
Montrons que si une telle fonction existait,alors est unique :
Supposons qu'il y ait deux fonctions qui vérifient (*) qui seraient f et g. Comme elles ne s'annules pas, on peut poser h=f/g.
On a alors h'=(f'g-fg')/g2=(fg-fg)/g2=0 donc h est une fonction constante or h(0)=f(0)/g(0)=1
Donc ¦x dans R, h(x)=1 d'où f(x)=g(x). Il n'existe donc qu'une seule fonction qui marche.
&=
g) Complexes :
a) Arg 1/z = - Arg z ?
On a z * (1/z) = 1
donc arg(z*(1/z)) = arg 1 [2Œ]
et alors arg(z) + arg (1/z) = 0 [2Œ]
et d'où arg(1/z) = -arg(z) [2Œ]
&-
b) arg (z/z')= arg(z) - arg(z') [2Œ] ?
On a z/z' = z * (1/z')
donc arg(z/z') = arg(z) + arg(1/z')[2Œ]
alors arg(z/z') = arg(z) - arg(z')[2Œ]
(voir roc précédent à redémontrer ^^)
&-
c) arg((zc-za)/(zb-za)) = (AB,AC)[2Œ] ?
On a arg((zc-za)/(zb-za)) = arg(zc-za) - arg(zb - za))[2Œ]
Donc arg((zc-za)/(zb-za)) = (u,AC)-(u,AB)[2Œ]
Alors, arg((zc-za)/(zb-za)) = (u,AC)-(AB,u)[2Œ]
D'où arg((zc-za)/(zb-za)) = (AB,AC)[2Œ]
&-
d)|z*z'|=|z|*|z'| ?
On sait que (|z*z'|)2=(z*z')*(z*z')=z*z'*z*z'=zz*z'z'=|z|2*|z'|2.
Un module étant positif, on a bien |z*z'|=|z|*|z'|
&-
e)|1/z|=1/|z|(pour z<>0) ?
On sait que |z*1/z|=1 donc |z|*|1/z|=1 d'où |1/z|=1/|z|
&-
f) |z/z'|=|z|/[z'| ?
On sait que |z/z'|=|z*1/z'|=|z|*|1/z'|=|z|*1/|z'|=|z|/|z'|
&-
g)(1/z)=1/z ?
Même raisonnement que pour e) sauf que maintenant, c'est avec des conjugés.
&-
h) (z/z')=z/z' ?
Même raisonnement que pour f).
&=
J) Spé Similitudes
1)Soit S une similitude directe de rapport k et d'angle € avec A<>B,
Si s envoie A sur A' et B sur B'(écrire avec les flèches et le S par dessus ^^) alors A'B'= k*AB et (AB,A'B')=€[2Œ]
Démonstration :
On sait que zb'=azb+b et za'=aza+b (écriture complexe d'une similitude directe) donc (zb'-za')=a(zb-za)
D'où en terme de modules : |zb'-za'|=|a| * |zb-za| et donc A'B' = k * AB
Et en termes d'arguments, (zb'-za')/(zb-za)=a
donc arg((zb'-za')/(zb-za))= arg(a)
d'où (AB,A'B')=€[2Œ]
&-
2)A,B,A',B' étant quatres points tels que A<>B et A'<>B', il existe une et une seule similitude envoyant A sur A' et B sur B' ?
a) Let's go by the example !
A(1) B(2-i) A'(i) B'(1+i)
On cherche les complexes a et b tel que
za'=aza+b et
zb'=azb+b
cad
i=a+b et
1+i=a(2-i)+b
donc
a=i-b (1) et
1+i=(i-b)(2-i)+b (2)
On dévellope (2) puis on en sort b qu'on réinjecte dans (1) et on trouve a et b.
On a bien montré que A' et B' étaient l'image de A et B par une similitude directe, à savoir celle d'écriture complexe
z'=az+b (on remplace a et b par leurs valeurs)
b) Let's go by the général case !
Idem que précedemment mais on garde za,zb,za',zb':
On a
za'=aza+b (1) et
zb'=azb+b (2)
(2) - (1) : zb'-za'=a(zb-za)
d'où a = (zb'-za')/(zb-za)
Pour b, on fait (1)*zb-(2)*za,(on pose les opérations, hein ?) ce qui donne :
za'zb-zb'za=b(zb-za) d'où b = (blabla)/(blabla)
On a bien montré qu'il existe une unique similitude qui transforme A en A' et B en B', celle d'écriture complexe z'=az+b avec les a et b trouvés ci dessus.
&=
k) Spé Arithmétique
a) Si d divise 2 entiers, il divise aussi toutes leurs combinaisons linéaires à coefficient entiers ?
On sait que d|a donc a=kd (k dans Z)
et on sait que d|b donc b=k'd (k dans Z)
alors au + bv = d(ku+k'v)
et on a bien (ku+k'v) dans Z. Donc d|au + bv.
&-
b)On a a£b[n] et a'£b'[n], alors est ce qu'on a a*a'=b*b'[n]?
On sait que a£b[n] alors a=b+kn
De même pour a'£b'[n], on a a'=b'+k'n
Alors a'+a=(b+kn)*(b'+k'n)
donc aa'=bb'+bk'n+b'kn+kk'nn
d'où aa'=bb'+(bk'+b'k+kk'n)*n
et (bk'+b'k+kk'n) est dans Z
Il en découle que aa' et bb' diffère d'un multiple de n, d'où la propriété demandée, ils sont congrus entre eux \o/
&-
c) On veut montrer que PGCD(A,B)=PGCD(B,R) avec A=BQ+R
Montrons que les paires {A;B} et {B;R} ont même ensemble de diviseurs communs :
1) Soit d dans N, si d|A et d|B, alors d|A-BQ et d|B (combinaison linéaire) donc d|R et d|B.
2) Réciproquement, soit d dans N, si d|R et d|B, alors d|BQ+R et d|B (combinaison linéaire) donc d|A et d|B
Les paires {A;B} et {B;R} ayant même ensemble de diviseurs communs, elles ont même PGCD. CQFD
&-
d) a„(b*c)=1 equivaut à a„b=1 et a„c=1 ?
On suppose a„(bc)=1
donc, il existe un u et un v dans Z tels que ua+v(bc)=1
alors on peut poser ua+(vb)*c=1
et ua+(cv)*b=1
Donc d'après bezout, a„b=1 et a„c=1.
Réciproquement,
on suppose a„b=1 et a„c=1 alors il existe au moins un u,v,u',v' qui vérifie au+bv=1 et au'+cv'=1 donc (au+bv)(au'+cv')=1. On distribue et on factorise par a et par bc, on obtient un truc du style au''+bcv''=1 et comme u'' et v'' sont dans Z, selon bezout, on a bien a„(bc)=1
CQFD
&-
e) Si un entier p premier divise un produit, alors p divise l'un au moins des facteurs de ce produit.
On a DivN p = {1;p} donc a„p appartient à {1;p}.
Si a„p=1 alors selon gauss, p|b
Si a„p=p alors p|a.
CQFD
&=
I) Logarithme
a) Pour a>0, ln(1/a)=-ln(a) ?
On sait que ln(a*1/a)=ln1
Donc ln(a)+ln(1/a)=0
D'où -ln(a)=ln(1/a)
CQFD
&-
b) Pour a>0 et b>o, ln(a/b)=ln(a)-ln(b)?
On sait que ln(a/b)=ln(a*1/b)=ln(a)+ln(1/b)=ln(a)-ln(b)
&=
J)Limites
a) On veut montrer que lim(f,x,+¸)=l
cad montrer que pour tout intervalle entier I contenant l contient aussi tous les réels f(x), pour x assez grand.
Soit donc I contenant l
- On sait qu'il existe un € tel que xž€, g(€)œf(€)œh(€)
- On sait qu'il existe un €2 tel que xž€2, g(€2)¿I
- On sait qu'il existe un €3 tel que xž€3, h(€3)¿I
Posons alors = Sup(€,€2,€3), alors ¦x>, on aura bien f(x)¿I
&-
b)lim(xln(x),x,0+) ?
lim(xln(x),x,0+)=lim((1/X)ln(1/X),X,+¸)
On a pris x=1/X
Donc lim(xln(x),x,0+)=lim(-ln(X)/X,X,+¸)
D'où lim(xln(x),x,0+)=0 d'après la 1ère limite remarquable, à savoir : lim(ln(x)/x,x,+¸)=0
&-
c) lim(ln(1+h)/h,h,0)=lim((ln(1+h)-ln(1)/h,x,0)
(On fait -ln(1) car ln(1)=0 et ça donne un taux d'accroissement, donc la valeur de la dérivée)
Donc lim(ln(1+h)/h,h,0)=ln'(1)=1/1=1
&-
d) lim(x—x,x,-¸)=lim(-X—-X,X,+¸)
On a posé x=-X
lim(x—x,x,-¸)=lim(-X/—X,X,+¸)=0 car c'est l'inverse de lim(—x/x,x,+¸)=+¸ qui est connue.
&-
e) lim((—x-1)/x,x,+¸)=lim((—x-—0)/(x-0),x,+¸) qui est un taux d'accroissement, donc,
lim((—x-1)/x,x,+¸)=exp'(0)=exp(0)=1
&=
L)Démonstration de l'unicitée
On a f qui est continue sur [a;b], soit k compris entre f(a) et f(b), on sait qu'il existe au moins un réel c ¿ [a;b] tel que f(c)=k d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
On doit montrer que c est unique sachant que f est strictement monotone. On suppose ici f strictement croissante (raisonnement analogue pour f strictement décroissante)
Par l'absurde :
supposons qu'il existe deux réels c et c' tels que f(c)=k et f(c')=k (*) on aurait par exemple c>c', mais f est strictement croissante, donc f(c)>f(c') ce qui est en contradiction avec (*).
Donc il n'y a qu'un seul réel c.
