LIMITES 1ère S - Page 1

Bonjour, j'ai un DM à faire et j'aimerais que vous me donniez les résultats afin d'être persuadée de mes réponses.

L'exercice étant le suivant :

Soit f la fonction définie sur ]0 ; + inf[ par :
f(x) = (3/x) - 1

On appelle C la courbe représentative de la fonction f dans un repère plan.

PARTIE A.

1) Etudier la limite de f en chacune des bornes de son ensemble de définition.
Interpréter graphiquement ces limites.

2) Etablir le tableau de variation de f.

3) Construire la courbe C dans un repère orthonormé (O ; i ; j) d'unité graphique 2 cm, et placer les points A et B de C d'absicisses respectives 1 et 3.

4) Determiner une équation de la droite (AB)

5) Soit M un point de C d'abscisse x. La parallèle à l'axe des ordonnées passant par M coupe la droite (AB) en un point N. Soit P le milieu du segment [MN].
Déterminer les coordonnées des points M, N et P en fonction de x.
On montrera, en particulier, que l'ordonnée du point P est : (-x² + 2x + 3) / (2x)


PARTIE B

Soit g la fonction définie sur ]0 ; + inf[ par :
g(x) = (-x² + 2x + 3) / (2x)

La courbe C' représentant la fonction g est alors l'ensemble des points P lorsque le point M décrit toute la courbe C (c'est à dire lorsque x décrit tout l'intervalle ]0 ; + inf[ ).

1) a) Etudier la limite de g en chacune des bornes de son ensemble de définition.
En déduire que la courbe C' admet une asymptote dont on précisera une équation.

b) démontrer que la droite D d'équation y = -x/2 + 1 est une asymptote à C'

2) Etablir le tableau de variation de g.

3) Etudier la position relative de la courbe C par rapport à la courbe C'.

4) Construire, dans le même repère, la courbe C'.


Merci d'avance, j'ai besoin de votre aide.

Edited_63

Tiens j'ai une autre idée, si TOI tu nous donnais les réponses histoire qu'on voie, hmm ?

(et sors pas l'excuse du "c'est long à écrire" vu que tu t'es fais chier à taper l'énoncé ).

Ah désolée, je ne savais pas comment fonctionnait ce site.
Les réponses que j'ai trouvé sont les suivantes :

1)
lim f (0+) = + inf donc C a une asymptote verticale d'équation x = 0
lim f (+ inf) = -1 donc C a une asymptote horizontale d'équation y = -1
2)
f'(x) = -3/x² < 0
Donc f est strictement décroissante sur ]0;+ inf[
4)
A(1;2)
B(3;0)
(AB) d'équation y = -x+3
5)
M(x;(3/x)-1)
N(x;-x+3)
P(x;(-x²+2x+3)/(2x)) Comment puis-je démontrer son ordonnée ? Je suis conincée.
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PARTIE B
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g(x) = (-x²+2x+3)/(2x)
Dg = ]0;+∞[

1)
a)
lim g (0+) = + inf donc C' a une asymptote verticale d'équation x = 0
lim g (+ inf) = - inf
b)
g(x)-[-(x/2)+1] = 3/(2x) tend vers 0 quand x tend vers + inf
Donc la droite D d'équation y = -(x/2)+1 est une asymptote oblique à C' au voisinage de + inf
2)
g'(x) = -(x²+3)/(2x²) < 0
Donc g est strictement décroissante sur ]0;+ inf[
3)
f(x)-g(x) = (6-2x+x²-2x-3)/(2x) = (x²-4x+3)/(2x) = (x-1)(x-3)/(2x)
La position relative de la courbe C par rapport à la courbe C' est donnée par le signe de f(x)-g(x)


Merci à Orion mais mes courbes ne ressemblent pas vraiment à celà :s

comment c'etait le bon temps ca...