Avis aux matheux ! - Page 1

Je cherche une suite de fonctions (f n) de classe C-infini de [0,1] dans lui-même, développable en série entière sur [0,1] et convergeant (assez rapidement ) vers la fonction caractéristique de [e0,1] où e0 est un élément de ]0,1[ (càd la fonction qui à x associe 0 si x<e0 et 1 si x>e0)

(ce serait pour un programme de transformation de sons)

Avis aux amateurs (Kevin, telchar...)

Hum

Et GTools ?? Et GTC ?????

convergente pour quelle norme?

S'il s'agit de la norme 1 ou 2, ou de convergence simple, tu peux toujours utiliser une fonction Arctangente "déformée" :

fn(x) = ( Arctan( n*(x-e0) ) + Pi/2 )/Pi


Je ne sais pas si ça répond à ta question...
[edit]Edité par telchar le 13-04-2002 à 23:20:37[/edit]

oui arctan, j'y avait pense.. d'ailleur, on tu peux utiliser les formes normalisées des phases des filtres de transfert en elec...

je parlais de convergence simple (de toutes façons la convergence uniforme est à exclure car la limite est discontinue)

telchar> arctan, c la 1è chose que j'ai faite, sauf que ça marche pas (idem avec exp(-(x-1)^n) et (1-cos(Pi*(1-cos(Pi*...))/2))/2 avec n compositions)
(ça marche bien au voisinage du point où je fais le DL, mais ça part bien en couille un peu plus loin...)


voilà ce qui foire (en Maple) :

> restart;
> mu:=100;
> a:=.8;
> psi0:=x->1/2+arctan(mu*(2/(x+1/x)-a))/Pi;

> DL:=proc(exp,var,order)
>  local t,n,i,P;
>  t:=series(exp,var,order):
>  n:=nops(t):
>  P:=0:
>  for i from 1 to n/2-1 do
>   P:=P+op(2*i-1,t)*op(0,t)^op(2*i,t);
>  od:
>  P:
> end;

> P:=unapply(DL(psi0(x),x=0,60),x);

> plot([P(x),psi0(x)],x=0..3,y=-0.1..1.1);

ici psi0(x)=f(2/(x+1/x)), et le DL foire bien

bon allez une jolie courbe, ça foire bien juste avant x=e0 (courbe idéale en rouge, DL en vert) :

la fonction exponentielle peut etre utile: exp(1/(x^2-1)) à laquelle tu fait un prolongement et une affinité

En plus sa représentation graphique est assez jolie

maple powaaaaaa

J'ai penser aussi à tan, arctan, th,...
mais pour des fonctions en escalier comme tu le demande, je pense qu'il faut passer par des fonction de type x^n.
je trouve plus facile de construire avec x^(1/n):
pour x<0: -(-x)^(1/n)
pour x>0: x^(1/n)
pour le raccordement en 0: la fonction est impaire! elle est donc C infini sur [-1;1]. elle doit etre surement dse...
il suffit ensuite de changer de repère:
pour x<e0: 1/2-1/2*(e0-x)^(1/n)
pour x>e0: 1/2+1/2*(x-e0)^(1/n)

limit 1/2-1/2*(e0-x)^(1/n) = 0
n->infini

limit 1/2+1/2*(x-e0)^(1/n) = 1
n->infini

si tu veux que la convergence soit plus rapide, change le 1/n en 1/n^2 (ou plus....)


J'ai tout de même chercher avec x^n (pas si dur finalemant...) : la dse de x^(1/n) me parait douteuse...
même méthode:
pour x<0: -1+(x+1)^n
pour x>0: 1-(-x+1)^n
pour le raccordement en 0: la fonction est impaire! elle est donc C infini sur [-1;1]. c'est une dse: je crois que c'est clair!

il suffit ensuite de changer de repère:
pour x<e0: 1/2*(x-e0+1)^n
pour x>e0: 1-1/2*(e0-x+1)^n

idem pour la rapidité...

vouala

[edit]Edité par hibou le 15-04-2002 à 13:13:44[/edit]
[edit]Edité par hibou le 15-04-2002 à 13:14:19[/edit]

ok merci

Mais le pb c que la convergence est tjs trop lente... et après, il faut que j'inverse une énorme matrice (au moins 100x100), et là ça part bien en couille (même avec 100 chiffres, le résultat n'est pas assez précis... )

Bon ben tant pis et merci qd même à ceux qui ont cherché

ah ! matheux ! , je croyais Matteux !

Et GTools ? On l'aura jamais !