Les Groupes - Page 1

Dans la definition de groupe on a une loi interne qui a tout couple (x,y) d'un ensemble donné associe un element de cette ensemble,est ce que cela signifie que cette loi est une bijection?(Si oui je pense que cela devrai etre plus souligné par nos profs )

La loi (x,y)->z=f(x,y) n'est certainement pas une bijection de G² sur G (du moins pas dans le cas général). Un contre-exemple simple: si ton groupe est un corps (et donc les couples (x,y) forment un espace vectoriel de dimension 2) et que ta loi est une application linéaire. Si tu projettes 2 dimensions sur 1 dimension, de manière linéaire, comment veux-tu que ça soit une bijection? Il y a des cas tordus où (x,y)->z=f(x,y) est une bijection (utilisés pour montrer que |R² et |R ont le même cardinal), mais ce n'est certainement pas le cas général.

Ceci dit, si tu fixes y, l'addition du groupe avec un élément constant (f:x->x+y) est une bijection, parce qu'il suffit d'ajouter (-y) pour retomber sur x à chaque fois.

Mais losque on fait la table qui par la loi interne associe un element de l'ensemble ,je crois que notre prof nous a dit que c un groupe lorsque il ne figure q'un seul fois les elements du groupes sur les lignes ou colonnes . Cela ne dirai pas que la loi interne serai une bijection?

Si f est la loi interne, alors:
x->f(x,y) (y constant) est une bijection
y->f(x,y) (x constant) aussi, mais:
(x,y)->f(x,y) n'est pas une bijection!

ok merci