mové en math :| - Page 2

microbug> lol

HIPPOPOTAME
: Le logarithme est développable en série entière sur tout son ensemble de définition !!

Tout dépend de l'ensemble de définition choisi.
Le logarithme peut être défini sur (C*, mais il n'est pas holomorphe sur (C*, vu qu'il n'est même pas continu sur (C*! En revanche, en supprimant une demi-droite (par exemple |R_*), il devient holomorphe.

HIPPOPOTAME
: On peut l'étendre au maximum à C privé d'une demi droite d'origine 0.

On peut l'étendre jusqu'à (C*. La demi-droite que tu veux retirer devient alors ensemble de points de discontinuité, et la fonction n'est plus développable en série entière sur tout son ensemble de définition.

Manoloben
: ensemble de definition de ln c est bien |R*!?

liquid
: non, c'est R+*

Pour avoir des valeurs dans |R, oui.
Pour avoir des valeurs dans (C, c'est (C*.

Pour avoir des valeurs dans (C, c'est (C*.

Je dirais plutôt des valeurs dans C / 2.i.Pi.Z dans ce cas-là (parce que sinon c'est quand même moyennement canonique)

kevin> pour un lycéen, on va se contenter de R

Tout dépend de l'ensemble de définition choisi.
Le logarithme peut être défini sur (C*, mais il n'est pas holomorphe sur (C*, vu qu'il n'est même pas continu sur (C*! En revanche, en supprimant une demi-droite (par exemple |R_*), il devient holomorphe.
On peut l'étendre jusqu'à (C*. La demi-droite que tu veux retirer devient alors ensemble de points de discontinuité, et la fonction n'est plus développable en série entière sur tout son ensemble de définition.

En effet, la continuité était bien sûr sous entendue.

En fait, on peut aller encore plus loin : on peut étendre ln au revêtement universel de C*, il est alors défini et holomorphe en tout point, sauf 0.

Je dirais plutôt des valeurs dans C / 2.i.Pi.Z dans ce cas-là (parce que sinon c'est quand même moyennement canonique)

Je crois que la discontinuité est la même dans toutes les calculatrices : elle se situe sur la droite R-*, et
ln(-x)=ln(x) + iPi
ln(-x-0*i) = ln(x) - iPi

En fait, on peut aller encore plus loin : on peut étendre ln au revêtement universel de C*
, il est alors défini et holomorphe en tout point, sauf 0.

c'est quoi ce truc?

Je crois que la discontinuité est la même dans toutes les calculatrices : elle se situe sur la droite R-*, et
ln(-x)=ln(x) + iPi ln(-x-0*i) = ln(x) - iPi

Oui, mais c'est quand même pas très canonique. On n'a même pas ln(x*y)=ln(x)+ln(y) Ce n'est vrai que si on plonge l'image dans C/2iPiZ, bref autant dire directement que l'image est C/2iPiZ, sinon on a pas un morphisme de groupes

Oui, mais c'est quand même pas très canonique.

En effet, ça n'a rien de joli mathématiquement, mais je me demande si c'est pareil sur toutes les machines....

c'est quoi ce truc?

Euh... En quelques lignes :

* Prends le plan complexe troué : C*

* Découpe le le long de la demi droite R-* (par exemple), tu obtiens une surface avec deux bords : un de chaque côté de R-*. Appelons le bord "+" celui où la partie imaginaire est positive, et bord "-" l'autre.

* Créé un nombre dénombrable de copies de cet objet, indexées par les entiers relatifs.

* Pour tout entier relatif n, recolle le bord "+" de la n-ième copie au bord "-" de la n+1 ième copie.


Le résultat (disons X) est le revêtement universel de C*, ça ressemble à une surface qui s'enroule hélicoïdalement autour de 0. Il y a une surjection évidente X->C*. X est une variété lisse, et est simplement connexe.
Ce genre d'objet est important en topologie...

autant dire directement que l'image est C/2iPiZ, sinon on a pas un morphisme de groupes

Oui, cette solution a l'avantage de faire de ln et exp des isomorphismes C^oo réciproques entre C* et C/2iPiZ.

Mais les constructions à base de revêtement ont l'avantage de s'appliquer à d'autres fonctions, comme la racine carrée complexe.

OK, merci pour l'explication

En résumé,
ln : C* -> C/2iPiZ
ln : RU(C*) -> C
donc RU(C*) est une sorte de produit par exp(2iPiZ) (ou, autrement dit, C* = RU(C*)/exp(2iPiZ), en définissant exp injective [en fait bijective] de C dans RU(C*)).

Donc il suffit de transporter les structures de (C,+) (et la topologie) par 'exp' pour obtenir (RU(C*),*).

Mais est-ce qu'il y a moyen de définir exp (version "injectivisée") à partir de sa série entière dans ce cas-là? Je crains qu'on ne soit plus ou moins obligé de passer par un truc gore du style exp_barre(z+2i.n.Pi) = (exp(z), n) où Im z € ]-Pi,Pi] pour le définir... (à moins qu'on plonge carrément tout ça dans un anneau bcp plus grand [en fait, une C-algèbre de dim infinie], mais ça m'a pas l'air gagné...)

Mais les constructions à base de revêtement ont l'avantage de s'appliquer à d'autres fonctions, comme la racine carrée complexe.

Effectivement, ça marche dans la mesure où c'est purement multiplicatif.

Mais les constructions à base de revêtement ont l'avantage de s'appliquer à d'autres fonctions, comme la racine carrée complexe.
Effectivement, ça marche dans la mesure où c'est purement multiplicatif.

En fait, si on a une fonction holomorphe sur C\P, où P sont ses pôles, elle n'admet pas toujours une primitive définie sur C\P tout entier (exemple de 1/z). En revanche, elle admet une primitive définie sur un revêtement de C\P.

Le cas de la racine carrée est différent. Le problème est qu'il y a deux racines carrées complexes, de signe opposé. On peut la définir sur le revêtement universel, comme ln, mais il est plus logique de prendre un revêtement plus petit :

Dans la construction, au lieu de prendre une infinité de copies de C* découpé, prenons en seulement deux (A et B). On recolle le bord "+" de A au bord "-" de B, et le bord "-" de A au bord "+" de B. On obtient ainsi un revêtement de C* à deux feuillets, contrairement au revêtement précédent, qui avait une infinité de feuillets.

Sur ce revêtement à deux feuillets, on peut définir la racine carrée complexe de façon C^oo. Les images de deux points, de même représentant dans C* mais sur des feuillets différents, auront un signe opposé.

Pour revenir au logarithme, les images de deux points, de même représentant dans C*, auront une différence de 2iPi d'un feuillet à l'autre.

donc RU(C*) est une sorte de produit

Ou plus exactement C* est un quotient de RU(C*). (Quand on fait un quotient, on ne peut pas remonter à l'ensemble initial par un produit.)

C* = RU(C*)/exp(2iPiZ)

Voilà, à peu près. (enfin, c'est mal dit car exp(2iPiZ)={1} !)

Le groupe Z (ou 2iPiZ, c'est isomorphe...) agit sur RU(C*) de la façon suivante : le générateur 1 (ou 2iPi) envoie un élément situé sur le feuillet n°i sur l'élément analogue situé sur le feuillet n° i+1. (faire agir 1 revient à "faire monter d'un étage")

Et C* est le quotient de RU(C*) sous l'action du groupe Z.

Mais est-ce qu'il y a moyen de définir exp (version "injectivisée") à partir de sa série entière dans ce cas-là?

On peut parler de série entière dans RU(C*). En effet, chaque point de RU(C*) a un voisinage isomorphe (et homéomorphe) à un voisinage du point correspondant de C*. Cependant on ne peut pas parler de série entière en 0 : 0 n'appartient pas à RU(C*).



- on peut définir exp : RU(C*) -> C sans problème, mais c'est largement non injectif.
- on ne peut pas définir exp : C -> RU(C*) de façon satisfaisante (continue).

=> le lien entre exp et ln est un peu cassé si on définit ln sur un revêtement. Le but du revêtement est plutôt de se focaliser sur le logarithme tout seul : de le définir sur quelque chose qui ressemble de loin à "C* tout entier".





Un peu confus, ma bafouille...

En fait, si on a une fonction holomorphe sur C\P, où P sont ses pôles, elle n'admet pas toujours une primitive définie sur C\P tout entier (exemple de 1/z). En revanche, elle admet une primitive définie sur un revêtement de C\P.

Qu'est-ce que tu entends par revêtement dans ces cas-là? Parce que si P est un ensemble "bizarre", c'est possible qu'on ne puisse plus du tout l'indexer par C\P x Z, non?

Le cas de la racine carrée est différent. Le problème est qu'il y a deux racines carrées complexes, de signe opposé. On peut la définir sur le revêtement universel, comme ln, mais il est plus logique de prendre un revêtement plus petit

Oui, évidemment. Mais ça devient une bijection de RU2(C*) dans C*, et pas de RU(C*) dans lui-même...

Ou plus exactement C* est un quotient de RU(C*). (Quand on fait un quotient, on ne peut pas remonter à l'ensemble initial par un produit.)

Dans ce cas-là, si, puisque les classes d'équivalences sont isomorphes. On peut identifier C* x Z et RU(C*) (même si c'est pas très canonique non plus )

(enfin, c'est mal dit car exp(2iPiZ)={1} !)

Oui, enfin, si tu préfères, remplace exp par exp_barre "injectivisée", auquel cas dans le "langage des feuillets" on définit exp(2i.n.Pi) comme le 1 qui appartient au feuillet n° n...

On peut parler de série entière dans RU(C*)

Ah ouais? Cool Et tu la définis comment, ton addition?

- on peut définir exp : RU(C*) -> C sans problème, mais c'est largement non injectif.

Tricheur (et puis je pense que tu voulais dire "-> C*", sinon c'est même pas surjectif )
Ca revient à prendre exp[RU(C*)->C*] = exp[C->C*] rond pi[RU(C*)->C], ce qui n'a pas grand intérêt...

(d'ailleurs, c'est tellement pas injectif que ça permet pas de définir l'addition )

- on ne peut pas définir exp : C -> RU(C*) de façon satisfaisante (continue).

Ah bon? Ca m'étonne, tu peux me dire où foire la définition que j'ai donnée de exp_barre? Là je ne vois pas

Qu'est-ce que tu entends par revêtement dans ces cas-là?

Les revêtements c'est un concept de topologie algébrique plus général que ce que j'ai donné jusqu'à maintenant.

On se donne X un espace topologique (ou quelque chose de plus riche, comme une variété différentiable).

Un revêtement de X est un espace topologique Y et une surjection continue PI : Y -> X tels que :
Pour tout point a de X, il existe un voisinage U de a dans X tel que PI^(-1) (U) est homéomorphe à U*D, où D est un espace discret.


Bon, pas facile de se représenter la définition... Voilà quelques exemples :

- X = R/Z et Y = R
- X = R/Z et Y = R/nZ
- X = l'espace projectif de dimension d, Y = la sphère de dimension d
(Les PI étant les projections évidentes)


Si D est un ensemble fini à n éléments, on dit que c'est un revêtement à n feuillets.


Si Y est simplement connexe, on dit que c'est le revêtement universel de X. C'est en un certain sens le "plus grand" revêtement de X. On montre que tous les espaces "honnêtes" ont un revêtement universel, et il est unique. ("honnête" signifiant ici "semi-localement simplement connexe", ce que presque tous les espaces vérifient)


Il y a une analogie étonnante entre la théorie des revêtements et la théorie de galois en algèbre.
X <-> corps de base
revêtement Y <-> extension de corps
revêtement universel <-> clôture algébrique
n feuillets <-> de degré n
groupe fondamental <-> groupe de galois

Parce que si P est un ensemble "bizarre",

P ne peut pas vraiment être un ensemble bizarre : l'ensemble des pôles d'une fonction holomorphe est discret et sans point d'accumulation, si je ne m'abuse.

c'est possible qu'on ne puisse plus du tout l'indexer par C\P x Z, non?

Note que le revêtement universel de C\P est très différent de celui de C*. A vue de nez, il faudrait prendre non pas Z copies de C découpé, mais un ensemble de copies indexées par le groupe libre de base P.

RU2(C*)

Appelons le plutôt R2(C*). Il n'est pas universel, celui là

Mais ça devient une bijection de R2(C*) dans C*,

Est ce le cas? #hmmmm# Oui, ce doit être le cas.

Dans ce cas-là, si, puisque les classes d'équivalences sont isomorphes. On peut identifier C* x Z et RU(C*) (même si c'est pas très canonique non plus )

Nan
Les deux ensemble ne sont pas du tout isomorphes. RU(C*) est connexe alors que C* x Z ne l'est pas!

Dans C* x Z, si tu te ballades sur la surface, tu restes toujours sur le même feuillet.
Alors que dans RU(C*), si tu te ballades sur la surface et que tu tournes autour de 0, tu changes de feuillet.

il n'y a pas non plus d'isomorphisme multiplicatif (puisqu'on peut définir la multiplication sur ces deux ensembles)

on définit exp(2i.n.Pi) comme le 1 qui appartient au feuillet n° n.

Ca y est je vois ce que tu veux dire avec exp_barre. Je n'avais pas compris... voir plus bas!

Ah ouais? Cool Et tu la définis comment, ton addition?

Ah la la ces gens qui cherchent des complications
Je ne suis pas sûr qu'on puisse définir une addition intéressante. Sur RU(C*) on penserait plutôt à y mettre une multiplication.
Quand je dis qu'on peut parler de série, ça veut dire qu'on peut avoir une série Sigma(an*z^n) : Morceau de RU(C*) -> C en composant par la projection PI :
Sigma(an*z^n):=Sigma(an*PI(z)^n)

Ah bon? Ca m'étonne, tu peux me dire où foire la définition que j'ai donnée de exp_barre? Là je ne vois pas

En fait tu as parfaitement raison.
Il y a bien une application exp : C -> RU(C*) de classe C^oo, réciproque de ln.

Autant pour moi

Je crains qu'on ne soit plus ou moins obligé de passer par un truc gore du style exp_barre(z+2i.n.Pi) = (exp(z), n) où Im z € ]-Pi,Pi] pour le définir...

Oui, c'est moche mais ça marche.

On peut aussi identifier RU(C*) à A*B où A isomorphe à R représente le module, et B isomorphe à R représente l'argument (qui appartient à tout l'axe réel dans le cas de RU(C*), et non pas R/2PiZ comme pour C*)

Alors exp(a+ib) = (exp a, b)

mais lol! Les gars vous venez d ou, de mars!

où D est un espace discret.

(juste pour être sûr de la définition) c'est un espace où tous les points sont isolés, c'est ça?

Il y a une analogie étonnante entre la théorie des revêtements et la théorie de galois en algèbre.
X <-> corps de base
revêtement Y <-> extension de corps
revêtement universel <-> clôture algébrique
n feuillets <-> de degré n groupe fondamental <-> groupe de galois

Erf, désolé, je ne connais pas du tout Je vois quand même à peu près ce que tu veux dire.

P ne peut pas vraiment être un ensemble bizarre : l'ensemble des pôles d'une fonction holomorphe est discret et sans point d'accumulation, si je ne m'abuse.

Oui, ça ne peut pas être si bizarre que ça en fait. Mais rien qu'avec un ensemble de pôles dénombrables, ça ne doit plus trop ressembler à RU(C*) (au fait, RU, c'est la notation standard ou pas?)

Note que le revêtement universel de C\P est très différent de celui de C*. A vue de nez, il faudrait prendre non pas Z copies de C découpé, mais un ensemble de copies indexées par le groupe libre de base P.

Oui, ça paraît logique (une hélice par pôle), donc C\P x (Z^P).

Les deux ensemble ne sont pas du tout isomorphes. RU(C*) est connexe alors que C* x Z ne l'est pas!

Je ne voulais pas dire isomorphe (d'ailleurs je ne l'ai pas dit ), je voulais dire qqch entre isomorphe et en bijection (parce que "en bijection", ça dit pas gd chose C[X]^N c'est pas vraiment pareil que R ). Par exemple "avec une bijection «simple»" (bon, pour «simple», on va dire continue sauf sur un ensemble de mesure nulle -- c'est n'importe quoi mais c'est juste pour te donner une idée de ce que j'entendais par là).

Ah la la ces gens qui cherchent des complications
Je ne suis pas sûr qu'on puisse définir une addition intéressante. Sur RU(C*) on penserait plutôt à y mettre une multiplication.
Quand je dis qu'on peut parler de série, ça veut dire qu'on peut avoir une série Sigma(an*z^n) : Morceau de RU(C*) -> C en composant par la projection PI : Sigma(an*z^n):=Sigma(an*PI(z)^n)

D'accord, donc en fait, c'est bien ce qui me semblait, on ne peut pas définir d'addition, sauf si on passe dans C, mais alors ça n'a plus aucun intérêt. Donc on ne peut pas parler de série sur RU(C*)... (on ne peut même pas définir exp:C->RU(C*) par une série avec ta définition )

En fait je ne suis pas sûr que RU(C*) ait un intérêt particulier puisqu'en fait c'est jamais que l'image de (C,+) par la bijection C^oo exp. D'ailleurs ce genre de construction doit pouvoir se généraliser à n'importe quel morphisme, on peut définir pour phi quelconque un phi_barre de E dans (F x Ker phi) = G, dont on peut poser que c'est un isomorphisme, et hop! on a G qui vérifie ce qu'on veut... Dans le cas de RU(C*), il n'y a pas de propriété en plus par rapport au cas E, F et phi quelconques, donc bof bof...

A mon avis, RU(X) avec X quelconque doit être un peu plus "riche"

Autant

"Autant" ou "Au temps" ?
http://www.langue-fr.net/faq/faq.htm#au_temps

(juste pour être sûr de la définition) c'est un espace où tous les points sont isolés, c'est ça?

Nan!
C'est un espace où tous les singletons sont ouverts (donc en fait où toutes les parties sont ouvertes).

Tous les points de l'ensemble de Cantor sont isolés, mais il n'est pas discret.

Mais rien qu'avec un ensemble de pôles dénombrables, ça ne doit plus trop ressembler à RU(C*)

Même avec seulement deux pôles, ça ne ressemble plus du tout.

(au fait, RU, c'est la notation standard ou pas?)

Non, mais c'est sans importance : je ne crois pas qu'il y ait de notation standard. On doit trouver souvent une barre en haut. Ou bien un oo en indice.

Oui, ça paraît logique (une hélice par pôle), donc C\P x (Z^P).

Nan!!
1) C'est pas isomorphe.
2) De toute façon, ce n'est pas de Z^P dont je parlais.
Z^P est le groupe libre commutatif de base P. Je parlais du groupe libre général de base P, qui est beaucoup plus gros!

Je ne voulais pas dire isomorphe (d'ailleurs je ne l'ai pas dit )

Tu as dit "identifier". On identifie quand c'est isomorphe ou homéomorphe

je voulais dire qqch entre isomorphe et en bijection

Oué mais bon t'es obligé de découper ton ensemble pour faire ta pseudo bijection alors hein... Ca va discontinuer à plein d'endroits et toute la structure topologique n'est pas la même! Menfin je vois quand même l'idée

En fait je ne suis pas sûr que RU(C*) ait un intérêt particulier

Ca a un intérêt analytique : c'est le domaine naturel de la primitive de 1/z

D'ailleurs ce genre de construction doit pouvoir se généraliser à n'importe quel morphisme, on peut définir pour phi quelconque un phi_barre de E dans (F x Ker phi) = G, dont on peut poser que c'est un isomorphisme, et hop! on a G qui vérifie ce qu'on veut...

Vu que là ce n'est déjà pas F x Ker phi mais un truc qui en diffère largement...

De toute façon la motivation n'est pas algébrique mais analytique et topologique.

"Autant" ou "Au temps" ?

"Autant", évidemment!

Ou "Otan", à la rigueur...

au temps
(pour le reste du débat je vous laisse hein? )

à mon grand regret, c'est effectivement "au temps"

"Autant" est tellement plus joli, et tout aussi acceptable!

Nan!
C'est un espace où tous les singletons sont ouverts (donc en fait où toutes les parties sont ouvertes). Tous les points de l'ensemble de Cantor sont isolés, mais il n'est pas discret.

OK

De toute façon, ce n'est pas de Z^P dont je parlais. Z^P est le groupe libre commutatif de base P. Je parlais du groupe libre général de base P, qui est beaucoup plus gros!

Aïe, oui Au temps pour moi (cf plus bas )

Ca a un intérêt analytique : c'est le domaine naturel de la primitive de 1/z

OK, vu comme ça Mais ça reste plutôt (très) simple.

Vu que là ce n'est déjà pas F x Ker phi mais un truc qui en diffère largement... De toute façon la motivation n'est pas algébrique mais analytique et topologique.

Je ne parle pas de F x Ker phi avec sa structure usuelle, je parle simplement de l'_ensemble_ F x Ker phi sur lequel on transporte bêtement la topologie et la structure (de C sur RU(C*)) ? Donc ça marche bien et sur le plan topologique et sur le plan algébrique (en fait, le fait que ça soit un morphisme intervient principalement pour pouvoir définir le "produit" de manière consistante, i.e. les classes d'équivalences sont le même ensemble translaté, donc ça n'a rien d'une définition "algébrique").

"Autant", évidemment! Ou "Otan", à la rigueur...

Non, j'étais très sérieux! Va voir le lien, ou si tu ne crois pas ce site : [google]autant "au temps"[/google]

En fait pour autant, "au temps" semblerait vouloir dire "on recommence" ou un truc comme ça... Donc "au temps (pour moi)" voudrait dire "on recommence (à cause de moi)". De toute façon, "autant pour moi" n'a pas beaucoup de sens non plus (pourquoi "autant" ? ça impliquerait que quelqu'un s'est trompé autant que moi? )

Il a déjà eu un topic sur ce problème, je ne sais plus où....


"Autant" = "c'est autant pour moi".
"Au temps".... bof, ça veut pas dire grand chose...

Pourquoi "c'est autant pour moi" ?

Si on a la conversation :

A : Kevin il adore le Kernel
B : N'importe quoi, t'es trop con!
A : Ah, OK! C'est autant pour moi alors

Tu peux me dire à quoi fait référence "autant" ? A est aussi con que B ? A a fait autant d'erreurs que B ? Je ne vois vraiment aucune similarité entre A et B, donc "autant", bof bof...

-

Meuh non, il suffit d'aller en prépa (ou équivalent) (en tout cas pour raconter des conneries comme moi -- hippopotame est bcp plus fort, d'ailleurs c'est normal, c'est vachement fort un hippopotame )

..........

A : Kevin il adore le Kernel
B : N'importe quoi, t'es trop con!
A : Ah, OK! Au temps pour moi alors

Au temps de quoi? Il est tard? Il pleut?

Pollux :
d'ailleurs c'est normal, c'est vachement fort un hippopotame )

de toutes facons, autant pour moi ne s'utilise pas ds ce genre de situation, c'est un abus de langage

./55>
LOL
"au temps" signifie "on recommence", donc ça veut dire "Ah, OK! On recommence pour moi alors : Kevin il déteste le Kernel". Alors que autant, je ne vois pas trop de signification, même éloignée... Mais tu peux sûrement me remettre dans le droit chemin

Euh sinon t'as pas répondu à ma question du ./49, c'est une connerie ou pas?

ben... Quelle est la situation exactement (on est toujours dans C? quel morphisme?) Comment tu transportes la structure?
Je ne vois pas trop l'affaire...

on est toujours dans C? quel morphisme?

Ouais, tu transportes exactement la structure du groupe (C,+) et de l'espace topologique sur C par exp_barre.