periodicité - Page 1

ben voila, j'ai un probleme que je crois sans solution:

determiner la periode d'une fonction sur ti pour les fonctions simples, on peut se baser sur solve mais après!)

hm...par le calcul & dans les limites de la TI, je doute que ce soit possible...
Sinon, y'a la méthode bête & méchante, tu trace le graphe & tu mesures!

ouais lol

Que ce soit une ti ou pas une ti, ce n'est pas possible de déterminer la plus petite période de manière 100% sûre.

hm...p-e, mais j'en suis pas tt à fait sur...
P-e que maple en est capable, faut voir...

Une méthode qui me vient à l'esprit (mais qui n'est probablement pas sure à 100%, HIPPOPOTAME va certainement trouver un contre-exemple ) est la suivante. (On présupposera que la fonction est réellement périodique, et que c'est juste la valeur exacte de la période qui est inconnue.)

1. Trouver la moyenne Y de la fonction sur l'ensemble de la droite réelle. Je propose la formule suivante (HIPPOPOTAME a peut-être mieux):
Y = lim(intégrale(f(x),x,-p,p)/(2p),p,+infini)
2. On se retrouve avec une fonction f(x)-Y de moyenne 0. Une condition nécessaire pour qu'on soit devant une période T de la fonction est que intégrale(f(x)-Y,x,0,T)=0. On étudie donc les zéros strictement positifs t0, t1, ... de cette intégrale.
3. On essaye les zéros ti dans l'ordre croissant pour voir si on peut montrer que f(x+ti)=f(x). Le plus petit ti pour lequel c'est le cas est la période.

Exemple: soit f(x)=cos(x)+5.
1. intégrale(f(x),x,-p,p) = 2(sin(p)+5p)
intégrale(f(x),x,-p,p)/(2p) = (sin(p)+5p)/p
Y = lim(intégrale(f(x),x,-p,p)/(2p),p,+infini) = 5
2. f(x)-Y=cos(x)
intégrale(f(x)-Y,x,0,T)=sin(T)
sin(T)=0 <=> T = k*pi
=> t0=pi, t1=2 pi, t2=3 pi, ...
3. f(x+t0)=cos(x+pi)+5=-cos(x)+5. C'est différent de cos(x)+5 pour au moins la valeur x=0, donc ce n'est pas la bonne période.
f(x+t1)=cos(x+2pi)+5=cos(x)+5. Euréka!
=> T = t1 = 2 pi

KK: ca ne suppose pas que ta fonction soit périodique sur un intervale du genre ]-a,a[ ?

Si la fonction est périodique, tu peux déplacer la période autant que tu veux tant que la longueur ne change pas. Tu peux donc toujours la centrer sur 0.

En revanche, mon procédé présuppose que la fonction est continue (sinon c'est mal parti pour calculer la moyenne) et que les zéros de l'intégrale en 2. sont dénombrables.

Hm...ca a l'air correct ca KK...faut que je vois ca avec mon prof de maths...

arf deadbird

encore faut il que la fonction soit integrable... contre exemple: tan x, n'est untegrable que sur des fermés!
et si elle est integrable, il se peut que l'on ne sachent pas l'integrer...

#9>?
Je confirme, Maple V ne SAIT pas faire, pas directement en tout cas.

TiMad
a écrit : encore faut il que la fonction soit integrable... contre exemple: tan x, n'est untegrable que sur des fermés!

J'ai bien dit (message #7):

En revanche, mon procédé présuppose que la fonction est continue (sinon c'est mal parti pour calculer la moyenne) et que les zéros de l'intégrale en 2. sont dénombrables.

D'ailleurs, "continue" est peut-être plus que nécessaire ("intégrable Riemann" pourrait suffir), mais j'ai préféré éviter tout ennui possible.

et si elle est integrable, il se peut que l'on ne sachent pas l'integrer...

On travaille de manière numérique alors. (Ça sera moins fiable pour le test d'égalité des fonctions, mais ça devrait marcher dans les cas pas trop extrêmes.) Avoir une approximation numérique de la période est mieux que pas de résultat du tout.

P-e que maple en est capable, faut voir...

Non, aucun programme de calcul formel n'en est capable!

#5> D'accord, mais celà suppose que le Cas puisse résoudre toutes les limites et toutes les intégrales.

("intégrable Riemann" pourrait suffir),

et lebesgue-intégrable?





On peut toujours exhiber une fonction du genre cos(x)+cos(x/a), avec a une constante dont il est difficile de dire si elle est irrationnelle (-> fonction non périodique) ou si elle est rationnelle, et quelle est cette valeur rationnelle (-> pour obtenir la période).

On peut par exemple prendre pour a des valeurs de fonctions transcendantes comme Gamma, ou logarithme intégral (on peut choisir des valeurs dont l'irrationnalité est encore conjecturelle). Tout celà peut se faire avec les symboles d'intégration dont on dispose dans le Cas.


Et vu la tête qu'a une fonction cos(x)+cos(x/a), je doute qu'un algorithme puisse donner une valeur crédible de la période, ou affirmer qu'il n'y a pas de période!

HIPPOPOTAME
a écrit : et lebesgue-intégrable?

Peut-être (franchement, je n'ose pas m'avancer plus loin que "continue" faute de démonstration sous les yeux pour les cas plus généraux), mais dans ce cas, il faudra déjà changer toutes mes intégrales de Riemann en intégrales de Lebesgue.

On peut toujours exhiber une fonction du genre cos(x)+cos(x/a), avec a une constante dont il est difficile de dire si elle est irrationnelle (-> fonction non périodique) ou si elle est rationnelle, et quelle est cette valeur rationnelle (-> pour obtenir la période).

On peut par exemple prendre pour a des valeurs de fonctions transcendantes comme Gamma, ou logarithme intégral (on peut choisir des valeurs dont l'irrationnalité est encore conjecturelle). Tout celà peut se faire avec les symboles d'intégration dont on dispose dans le Cas.

Et vu la tête qu'a une fonction cos(x)+cos(x/a), je doute qu'un algorithme puisse donner une valeur crédible de la période, ou affirmer qu'il n'y a pas de période!

Bon, on essaye mon algorithme avec a=22/7. Soit donc f(x)=cos(x)+cos(7x/22).
1. Y = lim(intégrale(f(x),x,-p,p)/(2p),p,+infini) = 0 (jusque là pas de problème pour ma TI-89).
2. f(x)-Y=f(x)
intégrale(f(x)-Y,x,0,T)=22/7 sin(7T/22) + sin(T) (jusque là toujours pas de problèmes)
22/7 sin(7T/22) + sin(T) = 0 <=> Euh... La TI-89 ne trouve pas de résultats formels. Voilà des approximations:
t0 = 9,65003, t1 = 19,3054, t2 = 28,9730, t3 = 38,6632, t4 = 48,3966, t5 = 58,2302, t6 = 69,1151, t7 = 79,9998, t8 = 89,8335, t9 = 99,5669, t10 = 109,257, t11 = 118,925, t12 = 128,58, t13 = 138,23, ...
3. f(x+t0)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t1)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t2)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t3)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t4)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t5)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t6)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t7)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t8)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t9)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t10)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t11)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t12)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> raté
f(x+t13)-f(x)|x=seq(x,x,0,1,.1) -> {0., 1.E-13, 3.E-13, 5.E-13, 5.E-13, 6.E-13, 8.E-13, 8.E-13, 1.E-12, 1.2E-12, 1.E-12}. Tiens...
Un peu plus de calculs numériques:
f(x+t13)-f(x)=cos(7x/22+43,9823)+cos(x+138,23)-cos(7x/22)-cos(x)
43,9823/(2pi)=7, (Tiens, ...)
138,23/(2pi)=22, (Tiens, ...)
La période est donc t13=environ 138,23=22*(2 pi)=44 pi.
Un peu de calcul formel montre que 44 pi est bien une période (même si ça ne montre pas que c'est la plus petite - mais les calculs numériques laissent le présager):
f(x+44 pi)-f(x)=cos(7x/22+14 pi)+cos(x+44 pi)-cos(7x/22)-cos(x)=0
Voilà, ma méthode systématique mène au but. Cela dit, il faut que le CAS sache reconnaître des différences proches de 0 malgré les erreurs d'arrondis, et (pour obtenir un résultat exact) qu'il ait l'initiative de diviser les valeurs numériques qui apparaîssent dans les cosinus par 2 pi. Ou alors qu'il soit suffisamment intelligent pour calculer la valeur exacte de t13 en étant devant 22/7 sin(7T/22) + sin(T) = 0. (Mais il faut quand-même traîter les zéros précédents numériquement.)

arf (1ere methode foirée avec tan(x)^2

Heureusement que j'ai dit que la fonction doit être continue, ou du moins intégrable. tan(x)^2 n'est même pas bornée, ça ne risque pas de marcher! Comment veux-tu calculer la moyenne d'une fonction qui n'est pas bornée?

Tu peux tranformer une fonction non bornée en une fonction bornée en prenant l'arctangente (qui est une bijection de ]-oo,oo[ sur ]-pi/2,pi/2[, ou par extension de [-oo,oo] sur [-pi/2,pi/2]). Ça te donnera une fonction qui n'est en général toujours pas continue, mais qui dans des cas comme tan(x)^2 sera quand-même intégrable, et donc sur laquelle ma méthode devrait marcher normalement.

Et au fait, je viens de me rendre compte que pour tan(x)², ça sera même continu, vu que la fonction est toujours positive, et que donc pour les pôles, la limite est toujours de +oo de 2 côtés, donc de +pi/2 des 2 côtés après avoir pris l'arctangente.