Soit (f_n), pour n€Z, une suite de fonctions de R->R telles que f_n'=f_{n+1}.
(attention n est bien un entier relatif, pas seulement naturel)
On suppose que les f_n sont uniformément bornées : il existe C telle que pour tout n et tout x, |f_n(x)|<C
Montrer que f_0(x)=a sin(x+b)
- une solution triviale est f_n = 0 pr tt n.
Dans les autres cas:
- Supposons que fn est nulle apcr n0. ( <=> fn est nulle pr n0) Alors f_(n0-1) est constante, et f_(n0-2) = ax+b, fonction non bornée par C si a!=0 => Impossible.
D'où : soit fn est nulle pr tt n, soit aucun fn n'est nulle.
-Supposons maintenant qu'aucun fn soit nul.
La suite (f_n, n croissant) est unif. bornée donc il existe une sous-suite convergente uniformément vers f_1 ( Bolzano-Weirstrass ). Notons une telle suite extraite (g_m).
De même, la suite (f_n, n décroissant) est unif. borné donc il existe une sous-suite convergente uniformément vers f_2. Notons une telle suite (h_m).
D'où on obtient un tuc rigolo : si on dérive tout plein de fois f_2 on doit obtenir f1...( passage à la limite un peu délicat mais rigolo )
or :
-d'un coté quand on redérive f1 on doit rester sur f1 au bout d'un certain moment
-de l'autre quand on intègre f2 on doit rester sur f2 au bout d'un certain moment
Et de là on doit pouvoir bricoler : soit f1=f2, soit de manière générale y'a un cycle dans la dérivation où l'on croise f1 et f2
=> on en déduit je ne sais comment que tout ce bordel est périodique. A partir de là, f_n'=f_n qui impliquerait un a.exp(x+b) est récusée car non-bornée ( a != 0 ), et donc c'est périodique de période >1
=> on en déduit sur a.sin(x+b)
Bon, ça doit être l'idée, mais y'a des passages à la limite qui doivent être pas évident et où la conv. uniforme et la dérivabilité donc la continuité doit aider. Mais bon tous ces théorèmes de prépas sont loin...
