jeu poster le plus tard possible - Page 1631

cmb

faut voir

quand tu veux. pour prouver mes dires je suis meme pret a comparer la taille de mon sexe a la profondeur de la gorge de tout(e) volontaire

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tain chuis impressionne la

C'est fin ce soir...

CTB

héhé je savais que quelqu'un allait saisir ma grosse perche

contrebite

that's what I said

bnuit

http://fr.news.yahoo.com/3/20100218/twl-italie-chat-ragout-0ef7422.html

miawm

L'hypothèse du continu est fausse

Celle qui dit qu'il y a quelque chose entre aleph 0 et aleph 1 ?

Nan ya rien entre aleph_0 et aleph_1 par définition, puisque aleph_1 c'est le cardinal immédiatement supérieur à aleph_0.

L'hypothèse du continu dit qu'il n'y a pas de cardinal entre le dénombrable et celui de l'ensemble des nombres réels R.

(Comme on peut montrer que le cardinal de R est 2^aleph_0, ça revient à dire : 2^aleph_0=aleph_1).

Ah ok je me trompais de définition de aleph_1 (je croyais que c'était 2^aleph_0, justement. Je ne savais pas qu'on pouvait affirmer l'existence d'un cardinal immédiatement supérieur à aleph_0, en fait...)

Mais donc attends, l'hypothèse du continu, celle qui est fausse, dit qu'il n'y a *pas* de cardinal entre ces deux-là, donc tu veux dire en ./48912 que aleph_1 est strictement plus petit que 2^aleph_0 ?

A Bois d'Arcy, un homme de 34 ans a tué son épouse avec un fusil de chasse avant de se donner la mort. Il s'agit d'un drame familial, note une source policière.

captain obvious to the rescue

(http://preview.nouvelobs.com/actualites/societe/20100219.OBS7459/un_homme_tue_sa_femme_avant_de_se_suicider.html?idfx=RSS_notr&xtor=RSS-17)

tu veux dire en ./48912 que aleph_1 est strictement plus petit que 2^aleph_0 ?

Oui. Autrement dit aleph_1 ça serait le cardinal d'une partie non dénombrable de R, et néanmoins de cardinal strictement plus petit que R

Donc une espèce de super-Q en fait...
Je suppose que s'il y en a un il y en a une infinité, mais du coup est-ce que 2^aleph_0 pourrait être égal à aleph_omega ou quelque chose comme ça ?

2^aleph_0 peut être égal à pratiquement n'importe quoi, sauf aleph_omega en fait

En fait il est indécidable que 2^aleph_0 soit égal à aleph_1, aleph_2, aleph_3, aleph_aleph_aleph_aleph_17 ou n'importe quel cardinal de cofinalité indénombrable.

(un cardinal de cofinalité indénombrable, c'est un cardinal qui n'est pas réunion dénombrable de cardinaux plus petits. Aleph_omega est la réunion des aleph_k pour k entier, donc ça marche pas, par contre aleph_{omega+1} est de cofinalité indénombrable, et est une valeur possible pour 2^aleph_0)

(Bon je ne savais pas du tout qu'avec l'axiome du choix on montrait en utilisant les ordinaux que tout cardinal avait forcément un successeur direct... je comprends mieux le coup des alephs numérotés du coup )
(et donc en fait aleph_1 est le cardinal de l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables, voilà une définition que je comprends mieux que juste "le suivant" ^^)

Bon c'est dommage pour aleph_omega, ça serait quand même plus satisfaisant moralement que aleph_23

(nan c'est aleph_0, le dénombrable, aleph_1 c'est l'infini suivant).

Oui c'est con pour aleph_omega (=aleph_aleph_0).

Ca ne peut pas non plus marcher pour un ordinal rigolo comme le premier point fixe de la fonction aleph (le cardinal aleph_aleph_aleph_aleph_aleph.....) parce qu'il est aussi de cofinalité dénombrable : c'est la réunion des aleph_0, aleph_aleph_0, aleph_aleph_aleph_0, ....


En fait Cantor pensait que 2^aleph_0 est aleph_1, Gödel pensait que c'est aleph_2, et d'autres imaginent plutôt que c'est un cardinal vachement grand, du genre impossible à exprimer sans faire intervenir la fonction 2^...


Bon enfin l'hypothèse du continu est indécidable, mais j'étais content parce que je suis tombé sur un argument en défaveur de cet axiome, qui est vraiment court, simple et élémentaire, ce qui est plutôt rare en logique.

Non j'ai dit que aleph_1 est le cardinal de l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables (c'est-à-dire le nombre de bons ordres différents (non isomorphes) qu'on peut mettre sur N), c'est ce que j'ai lu sur wikipedia ; pas qu'il est lui-même dénombrable, ça je sais que ce n'est pas le cas par définition.

Et donc c'est quoi l'argument ?

Non j'ai dit que aleph_1 est le cardinal de l'ensemble de tous les ordinaux dénombrables

Ah oui tout à fait.



Bon ben alors on appelle P(R) l'ensemble des parties de R, et P_d(R) l'ensemble des parties dénombrables de R.

On considère la propriété (P) suivante :

(P) Pour toute fonction f : R -> P_d(R), il existe deux réels x et y tels que x n'appartient pas à f(y), et y n'appartient pas à f(x).





Discutons un peu (P).

Si on choisit un réel y, alors f(y) est une partie dénombrable de R, donc la probabilité qu'un réel x choisi au hasard appartienne à f(y) est 0. Donc la probabilité qu'un x n'appartienne pas à f(y) est 1.
De même, la probabilité qu'un y n'appartienne pas à f(x) est 1.

Par conséquent on a très fortement envie de penser que (P) est vraie, rien qu'en prenant x et y au hasard ça devrait marcher sans problème, quelque soit f.

Cependant on ne peut pas en faire une preuve rigoureuse, parce qu'il y a un endroit où ça coince. J'ai dit que pour y fixé, la probabilité qu'un x choisi au hasard appartienne à f(y) est 1. Par contre on ne peut pas dire que pour x fixé, la probabilité que x n'appartienne pas à f(y), y choisi au hasard, est 1, parce l'ensemble des y qui marchent peut ne pas être mesurable.


En fait (P) est une proposition indécidable dans ZFC. Néanmoins c'est une proposition indécidable mais raisonnable, qu'on ajouterait volontiers aux axiomes, alors que la négation de (P) est contre intuitive.



Or il se trouve que dans ZFC, (P) est exactement équivalent à la négation de l'hypothèse du continu (HC). En outre, la démonstration de cette équivalence est élémentaire.

Preuve :

1) Supposons que HC est vrai.
Alors ça veut dire qu'on peut indexer les nombres réels par les ordinaux dénombrables :
R = { x_0, x_1, ...., x_r, ... } avec r < omega_1.
Définissons alors la fonction f par f(x_i) = { x_j tels que j <= i }
f(x_i) est dénombrable parce que i est un ordinal dénombrable.
Supposons que x_i et x_j réalisent la propriété (P). Alors par construction i>j et j>i, c'est absurde. Donc f est un contre exemple à (P), et (P) est faux.

2) Supposons que HC est faux, et soit f : R -> P_d(R).
Alors soit A une partie de R de cardinal aleph_1. (Comme HC est faux, A est strictement plus petit que R).
Soit B la partie formée de la réunion de A, et de tous les f(a) pour a dans A.
B est une réunion de aleph_1 ensembles dénombrables, plus un ensemble de cardinal aleph_1, donc B est de cardinal aleph_1.
Donc B est différent de R, et on peut prendre un réel x qui n'est pas dans B. Comme f(x) est dénombrable alors que A ne l'est pas, il existe un y dans A qui n'est pas dans f(x).
Alors par construction, x n'est pas dans f(y) et y n'est pas dans f(x), on a montré que (P) est vrai.

Donc (je reformule pour ma compréhension ^^) admettre l'hypothèse du continu revient à postuler l'existence d'une fonction f : R -> P_d(R) telle que tout x appartient à tous les f(y) sauf pour les quelques y qui sont dans f(x).

Du coup, si je fixe x et que je prends y au hasard je suis presque sûr que y n'est pas dans f(x), ce qui implique que x est dans f(y) ; mais si je fixe y et que je prends x au hasard je suis presque sûr que x n'est pas dans f(y).
Donc si je prends *les deux* totalement au hasard je devrais intuitivement être presque sûr d'obtenir un x à la fois dans f(y) et pas dans f(y). Mais en fait ça n'est pas une absurdité démontrable à cause d'ensembles non mesurables et donc d'événements qui n'ont pas de probabilité bien définie. C'est ça ?

(tu t'es embrouillé dans tes probabilités entre les 1 et les 0)

http://www.pcinpact.com/sondages/detail/184.htm

lol



mieux

Pour libérer un objet de 1kg de l'attraction gravitationnelle de Phobos, il faut 6 000 joules.
Pour libérer un objet de 1kg de l'attraction gravitationnelle de Mars, il faut 12 000 000 de joules.
Pour libérer un objet de 1kg de l'attraction gravitationnelle de la Terre, il faut 63 000 000 de joules.

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