Léger problème en arithmétique - Page 1

Bonsoir,
Dans mes annales de bac, j'ai pioché au hasard un exercice pour m'entraîner...
Enfin c'était pas du hasard, j'ai pris le plus court

J'ai un problème dans mes raisonnements.. j'ai pourtant mi plus de temps à tout vérifier que de le faire...

énoncé :

"1 - Si 2 entiers naturels sont premiers entre eux, montrer qu'il en est de même pour leur somme et leur produit"
>> Là, ca va je pense...
Ma réponse :
Soient a et b deux entiers naturels premiers entre eux.
Soit d un entier naturel tel que d divise ab et d divise a+b :
Si d divise ab, alors d divise soit a soit b.
Si d divise a et que d divise a+b, alors d divise b. Donc d divise a et b, donc d est égal à 1.
Si d divise b et que d divise a+b, alors d divise a. Donc d divise a et b donc d est égal à 1.
Dans tous les cas, a+b et ab sont premiers entre eux.


"2- Déduire l'ensemble des couples (a,b) de NxN tels que :
a+b=96
PPCM(a,b)=180
"

Bon, là j'ai du mal, mon raisonnement m'a l'air de tenir la route mais le résultat final est quelque peu déroutant...

Etape n°1 : Déduire le PGCD de a et b :

Soit x = 180/a et y=180/b
x et y sont premiers entre eux, par conséquent, leur somme et leur produit le sont aussi :

PGCD (x+y,x*y)=1
or PGCD (x+y,x*y) = PGCD ( (180(a+b))/a*b), (180²) /a*b)) = PGCD (180*96, 180*180)/ab

Donc PGCD (180*96, 180*180)/ab = 1 et donc ab= PGCD (180*96, 180*180) = 2160

PGCD(a,b) = ab/PPCM(a,b) = 12

Etape n°2 : En déduire les couples a et b

Soit u=a/12 et v=b/12
u et v sont premiers entre eux.

De plus, uv=ab/(12*12)=15

Les couples u et v correspondant sont
u=1 ; v= 15 => a=12; b=180;
u=15 ; v=1 => a=180; b=12;
u=3 ; v=5; => a=36; b=60;
u=5 ; v=3; => a=60; b=36;

Problème : 180+12 = 192... par contre niveau ppcm c'est ok.
Et pour les autre couples c'est ok pour le ppcm comme pour la somme...
Le truc c'est que dès l'étape 1, j'utilise le fait que a+b=96... Alors comment ca se fait qu'à la fin j'ai des couples qui ne vérifient pas cette condition ???

Merci de m'aider !

++
Vengeur

Salut,

Vengeur41 (./1) :
Soit u=a/12 et v=b/12
u et v sont premiers entre eux.

juste une question, si u=1 et v=15 (pareil dans l'autre sens), sont-ils toujours premiers entre eux?

Euh... 1 et 15 sont bien premiers entre eux non ?

Vengeur41 (./1) :
Soit d un entier naturel tel que d divise ab et d divise a+b : Si d divise ab, alors d divise soit a soit b.

Erreur. Contre-exemple: 6 divise 2*3, mais 6 ne divise ni 2, ni 3.
Il faut partir avec d premier pour pouvoir utiliser ce théorème.
(À part ça, le raisonnement va dans le bon sens.)

Alors comment ca se fait qu'à la fin j'ai des couples qui ne vérifient pas cette condition ???

Tu raisonnes par implication, pas par équivalence (en particulier, le théorème du 1. ne marche que dans un sens), donc tu as démontré que si a et b remplissent les 2 équations de départ, alors c'est une des quatre paires (a,b) que tu as trouvées. Mais tu n'as pas démontré que l'inverse est vrai! Donc il faut insérer les couples trouvés dans les équations de départ et jeter ceux qui ne vont pas, ce qui te laisse avec l'ensemble des solutions.

Mhh je me disais bien que j'avais oublié quelque chose... A la rigueur, je peux passer par les carrés (même si je vois pas trop comment...) sinon je vois rien d'autre...
Pour le 2, je crois que je comprends pas très bien ce que tu veux dire...

Kevin Kofler (./4) :

donc tu as démontré que si a et b remplissent les 2 équations de départ, alors c'est une des quatre paires (a,b) que tu as trouvées.

je vois pas trop pourquoi y'en aurai qu'une (enfin 2...) sur les 4...

Edit : je suis tombé sur un problème très étrange :

"Soit n>2, montrer que soit n, soit n! est premier"

Mais, si on prend n qui n'est pas premier,
n! est divisible par tous les nombres de {1,2,3,4,5,...,n-2,n-1,n} ...

Vengeur41 (./5) :
Mhh je me disais bien que j'avais oublié quelque chose... A la rigueur, je peux passer par les carrés (même si je vois pas trop comment...) sinon je vois rien d'autre...

Ton raisonnement est déjà bon à part ce détail!
Soit d un entier naturel premier tel que d divise ab et d divise a+b :
Si d divise ab, alors d divise soit a soit b.
Si d divise a et que d divise a+b, alors d divise b. Donc d divise a et b, donc d est égal à 1, ce qui est absurde parce que d est premier.
Si d divise b et que d divise a+b, alors d divise a. Donc d divise a et b donc d est égal à 1, ce qui est absurde parce que d est premier.
Dans tous les cas, a+b et ab sont premiers entre eux (parce qu'ils n'ont aucun facteur premier commun).

Pour le 2, je crois que je comprends pas très bien ce que tu veux dire...

Tu as:

départ:
a+b=96
PPCM(a,b)=180

arrivée:
(a,b) dans {(12,180), (180,12), (36,60), (60,36)}

Tu as montré que départ => arrivée, donc si (a,b) remplissent départ alors ils remplissent aussi arrivée. En d'autres mots, il n'y a pas de couples (a,b) qui remplissent les 2 équations de départ et qui ne sont pas dans ta liste de 4 couples. Tu n'as pas montré que arrivée => départ, c'est-à-dire que les 4 couples que tu as trouvés ne remplissent pas forcément les 2 équations de départ!

Donc tout ce qui te reste à faire est réinsérer tes 4 couples dans les équations de départ et garder ceux qui les remplissent.

C'est un raisonnement par analyse-synthèse.

Edit : je suis tombé sur un problème très étrange :
"Soit n>2, montrer que soit n, soit n! est premier"

Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé, ou alors la notation n! est utilisée pour désigner autre chose.

Tu peux t'amuser à démontrer que pour p premier, p divise C_pⁱ pour tout 1 <= i <= p-1 où C_pⁱ sont les coefficients du binôme de Newton. Je ne sais pas si ça se fait au niveau bac par contre.