probleme 8 parts dans un gateau ? - Page 4

t'as déjà vu un gateau sans épaisseur ?

mais c'est vrai que c'est pas toujours évident de couper un gâteau dans le sens de l'épaisseur. Exemple : la génoise, avant de mettre la mousse au chocolat

squale92
: t'as déjà vu un gateau sans épaisseur ?

C'est un problème mathématique. Relis le début du topic.

J'ai une solution très simpliste (elle a peut être déjà été donnée), mais j'ai un coup de couteau non rectiligne

Je ne crois pas que l'on puisse faire un coup de couteau circulaire, ça serait trop facile, toute façon le problème n'a pas l'air d'avoir de solutions.

ben évidemment, si le gateau est convexe , en deux dimensions, et que les couts de couteaux sont rectilignes, alors le nombre maximal de parts est 7. Il n'y a pas de mal pour le démontrer...

Et réciproquement, si on autorise tous les coups de couteaux non rectilignes "qui ne reviennent pas sur leurs pas" (voire même un seul non rectiligne), on peut couper autant de parts qu'on veut en seulement 2 coups

Qu'appelles tu "revenir sur leurs pas"?


Un coup de couteau suffit pour avoir un nombre infini dénombrable de parts. (et au dessus?)

i.e. le coup de couteau est représenté par une application continue injective à valeurs dans un ouvert (et ça reste vrai en supposant qu'il existe un vecteur u non nul tel que (OM(x) | u) soit croissante)

Et on doit bien pouvoir se débrouiller avec l'ensemble de Cantor pour faire un truc sympa non?

On appelle part une composante connexe de gateau \ (Union ( coups de couteau ) )

Bon, après réflexion, on peut créer un nombre infini indénombrable de parts avec un seul coup de couteau (non injectif).

Preuve :
on prend Gateau = [0,1]²
on indexe les rationnels par les entiers naturels : r0, r1, r2, ....
on coupe le gateau par un coup de couteau ]0,1] -> R² défini comme suit :
sur l'intervalle [1/(n+1), 1/(n+2)], on parcourt continument les côtés du rectangle (0,0) - (0,rn) - (1,rn) - (1,0) puis ceux du rectangle (0,0) - (rn,0) - (rn,1) - (0,1)

Avec ce coup de couteau on est passé exactement par les points à coordonnées rationnelles, ce qui reste, ce sont des singletons indénombrables.

Evidemment les parts sont petites
(Mais de toute façon les parts doivent être presque toutes négligeables)

Hippohmu
: on prend Gateau = [0,1]²

Non, j'ai explicitement exclu ce cas-là (trop facile ) en précisant que le gâteau était ouvert; parce que si tu passes par le bord, c'est comme si tu donnais un nouveau coup de couteau Donc avec ma définition, on a bien besoin d'un deuxième coup de couteau...

Ma solution marche aussi avec ]-epsilon, 1+epsilon[², il y a juste une part de plus sur le bord!

Je ne pense pas que le gateau ouvert change grand chose (un gateau fermé peut être un peu épaissi en un ouvert, donc...)

Une question intéressante en revanche serait que le coup de couteau soit compact. (dans ma solution j'ai du prendre ]0,1] -> gateau, mais quid des couteaux [0,1]->gateau?)

(et j'avais pas lu en détail le reste de ton post, mais évidemment c 100x trop facile de se permettre un truc non injectif; en fait ton truc marche aussi avec un gâteau ouvert, mais pour un chemin non-injectif, gâteau ouvert != gâteau fermé)


EDIT : post croisé

Hippohmu :


Ma solution marche aussi avec ]-epsilon, 1+epsilon[², il y a juste une part de plus sur le bord!
Je ne pense pas que le gateau ouvert change grand chose (un gateau fermé peut être un peu épaissi en un ouvert, donc...)

C précisément ce que j'ai écrit en croisé Mais je pensais que tu prenais un chemin injectif.

Une question intéressante en revanche serait que le coup de couteau soit compact. (dans ma solution j'ai du prendre ]0,1] -> gateau, mais quid des couteaux [0,1]->gateau?)

Ca ne pose pas de pb non plus : il suffit d'imposer limite(rn) = 0, ce qui est évidemment possible (les Q ∩ [0,ε] sont infinis aussi). La seule question, c pour les chemins injectifs.

Si je coupe en spirale d'équation r(theta) = 1 + 1/theta, qui s'enroule autour d'un cercle-asymptote, j'ai bien fait deux part avec un seul coup de couteau injectif !


Evidemment à ce stade il faut commencer à distinguer connexité et connexité par arcs. Et le couteau n'est pas compact....

il suffit d'imposer limite(rn) = 0

FAUX

Tu ne peux pas imposer ça!

Si rn -> 0, alors à partir d'un certain rang on aurait rn < 1/2
Il n'y aurait donc qu'un nombre fini de rationnels plus grands que 1/2 !

Hippohmu
:

il suffit d'imposer limite(rn) = 0

FAUX

Tu ne peux pas imposer ça!

Si rn -> 0, alors à partir d'un certain rang on aurait rn < 1/2 Il n'y aurait donc qu'un nombre fini de rationnels plus grands que 1/2 !

Non, je n'ai pas dit qu'on pouvait l'imposer par simple permutation (c'est évidemment seulement possible par extraction)

Si tu veux que je détaille ce qui me permet d'en arriver là : on pose X_n = Q ∩ [0,1/n], qui est infini. Il suffit alors de prendre rn un élément qq de X_n – { rk / k<n } (qui est tjs infini), et on a bien ce qu'on veut.

Toujours pas !
Car avec ta méthode, le nombre de parts est dénombrable, puisque c'est la réunion dénombrable du nombre de parts (fini) qu'on a sur les [ rn, 1 ]²

Hippohmu :
Si je coupe en spirale d'équation r(theta) = 1 + 1/theta, qui s'enroule autour d'un cercle-asymptote, j'ai bien fait deux part avec un seul coup de couteau injectif !
Evidemment à ce stade il faut commencer à distinguer connexité et connexité par arcs. Et le couteau n'est pas compact....

Si le gâteau est ouvert, selon que ton intervalle de départ est ouvert, semi-ouvert ou fermé/compact, tu peux avoir au maximum respectivement 3, 2 et 1 parts (pour des coups de couteaux C¹ et la connexité par arc, au moins [pour être tranquille] ). Ce qui ne répond pas à la question, précisément (et donc ./101 est bien justifié).

Hippohmu :
Toujours pas ! Car avec ta méthode, le nombre de parts est dénombrable, puisque c'est la réunion dénombrable du nombre de parts (fini) qu'on a sur les [ rn, 1 ]²

Ah oui j'avais pas vu que tu voulais un truc indénombrable Mais bon, les singletons ça compte pas Il faut au moins qu'il y ait une infinité non dénombrable de points dans les parts qu'on compte, sinon y a vraiment _rien_ à manger (même si évidemment leur mesure sera nulle pour presque toutes les parts)

logiquement il faut que les parts aient une surface non nulle, sinon y a rien à manger par personne
et si on veut faire des parts égales, il n'est donc pas possible d'en faire une infinité ^^
Edit : croisé

Mais c moins drôle ^^ Et puis on peut tjs faire des parts plus ou moins égales, même avec une surface nulle (parts équipotentes).

108> Remarque :
Si tu prends au départ un intervalle ouvert ]0,7[ et que tu coupes injectivement par segments de droite de cette façon :

]0,1] -> (0,0)exclus, (0,1)
[1,2] -> (0,1), (1,1)
[2,3] -> (1,1), (1,0)
[3,4] -> (1,0), (-1,0)
[4,5] -> (-1,0), (-1,-1)
[5,6] -> (-1,-1), (0,-1)
[6,7[ -> (0,-1), (0,0)exclus

On obtient 3 parts, mais sans faire intervenir de connexité par arc.

Sally :
logiquement il faut que les parts aient une surface non nulle, sinon y a rien à manger par personne

Il n'y a presque rien à manger, nuance...

et si on veut faire des parts égales, il n'est donc pas possible d'en faire une infinité ^^

Si, si elles sont de mesure nulle ou si elles ne sont pas mesurables


Et après tout, selon leur appétit, les gens peuvent préférer la mesure de comptage à la mesure de lebesgue.

Hippohmu :
Si, si elles sont de mesure nulle ou si elles ne sont pas mesurables

Mais si le coup de couteau est continu, elles seront mesurables

Hippohmu :
108> Remarque :
Si tu prends au départ un intervalle ouvert ]0,7[ et que tu coupes injectivement par segments de droite de cette façon :

]0,1] -> (0,0)exclus, (0,1)
[1,2] -> (0,1), (1,1)
[2,3] -> (1,1), (1,0)
[3,4] -> (1,0), (-1,0)
[4,5] -> (-1,0), (-1,-1)
[5,6] -> (-1,-1), (0,-1)
[6,7[ -> (0,-1), (0,0)exclus
On obtient 3 parts, mais sans faire intervenir de connexité par arc.

En quoi ça contredit ce que j'ai dit? Le terme "connexité par arc" n'était là que pour dire que je ne considérais qu'une connexité "gentille". Et pour montrer que ce sont des parts, tu es bien obligé de faire intervenir une notion de connexité ; la connexité par arc est la plus gentille...

Et après tout, selon leur appétit, les gens peuvent préférer la mesure de comptage à la mesure de lebesgue.

En plus, ils vont en avoir une infinité à manger (et même une grosse grosse infinité si c un truc non dénombrable), alors qu'avec la mesure de Lebesgue ils en auraient seulement un nb fini

En quoi ça contredit ce que j'ai dit?

Ben en rien.
Un topic n'est pas forcément une suite de posts contradictoires. En tête de mon post, tu peux lire "Remarque :"

la connexité par arc est la plus gentille...

C'est loin d'être la plus naturelle!!

Et pourquoi pas la connexité par lignes brisées? je l'aime bien, celle là

Hippohmu
:

En quoi ça contredit ce que j'ai dit?

Ben en rien.
Un topic n'est pas forcément une suite de posts contradictoires. En tête de mon post, tu peux lire "Remarque :"

Oui, c'est aussi comme ça que j'interprétais "remarque"... Mais ta dernière phrase m'a fait douter, et je me demandais pkoi tu citais un post précis pour faire une remarque

la connexité par arc est la plus gentille...

C'est loin d'être la plus naturelle!!

Oui. Mais elle est plus restrictive, donc, plus gentille pour l'_analyse_ qu'on est en train de faire...

Et pourquoi pas la connexité par lignes brisées? je l'aime bien, celle là

erf la vieille définition même pas stable par difféomorphisme ^^

erf la vieille définition même pas stable par difféomorphisme ^^

Bah, tes couteaux C1 ne sont mêmes pas stables par homéos

Au fait, quid de la connexité par arcs C^k (ou C^k par morceaux?)
Ha la la, les connexités, quel bazar!

Hippohmu
:

erf la vieille définition même pas stable par difféomorphisme ^^

Bah, tes couteaux C1 ne sont mêmes pas stables par homéos

C déjà moins grave (et j'ai dit que ct juste pour pas avoir de pb, parce que pour nourrir une population infinie non dénombrable va effectivement falloir passer à la génération suivante de couteaux ^^)
Et imagine, l'image d'une partie connexe par (r.exp(i.theta)) -> (r^2.exp(i.theta)) ne l'est même pas forcément Pkoi pas la connexité par lignes brisées à segments horizontaux ou verticaux? Au moins c même pas stable par rotation ^^

Au fait, quid de la connexité par arcs C^k (ou C^k par morceaux?)

Bah c encore plus gentil (sans sombrer dans la neuneuterie des lignes brisées)

Ha la la, les connexités, quel bazar!

Personne N'y Comprend Rien?

C déjà moins grave

Bof.
Pourquoi C^1, et pas C^0, C^2 ou C^3/4 ?

Bah c encore plus gentil (sans sombrer dans la neuneuterie des lignes brisées)

C'est pas neuneu, c'est au contraire compliqué!
Et la connexité par arcs polynomiaux?

Personne N'y Comprend Rien?

Sauf dans R.
Béni soit R.