J'ai une adresse gmail lambda, pseudoalacon@gmail.com sur laquelle je reçois tout les mails pas importants (en gros toutes les conneries internet/ achats

J'ai une autre adresse type prenom.nom@gmail.com sur laquelle je recois les messages type importants, travail stage etc...
J'ai une adresse non gmail du style prenom.nom@université.fr.
Je redirige les courriers de l'adresse pro gmail vers l'adresse lambda via le menu importation du compte lambda.
Je redirige les courrers de l'adresse pro etudiante vers l'adresse lambda en utilisant la redirection proposé par le webmail de l'université.
Maintenant, voila les problemes

1) j'envoie des mails avec le compte pro gmail depuis le compte lambda, mais j'ai un gros probleme, c'est pas précisé par google et ça me fout un peu la honte, mais je viens de me rendre compte apres 2 ans apres la réponse d'un de mes contacts que les courriers envoyé avec cette adresse sont suivi de la mention
Prenom Nom <prenom.nom@gmail.com>Envoyé par : pseudobidon@gmail.comVoila, ça me fout un peu les boules de m'en rendre compte que maintenant mais bon... j'aimerais pouvoir solutionner ce probleme.
2) j'aimerais pouvoir envoyer des mails avec le compte de l'université via le compte gmail lambda, c'est possible ? (en evitant le probleme du dessus)
3)Dernier problème et le moins important : en important les mails via google, ça releve les mails que 1 fois par heure ou un truc comme ça, ya pas moyen de faire du push ou au moins d'avoir un intervalle < a 10 minutes ?
Voila j'espere que vous avez tout compris, si c'est pas très clair demandez moi !
Merci pour vos réponses

EDIT : excusez moi pour le titre pas très explicite et abregé, si un modo pouvait me changer ça en quelquechose de plus comprehensible genre "Probleme de redirection avec gmail" ce serait parfait
