résolution d'équation 3éme degré - Page 2

aucune des formules trouvées jusqu,à maintenant pr ces équations ne marchait ds 100% des cas

On ne peut en résoudre que certaines.

donc si je te dis polynome de degré 43 il n'existe pas de formule générale pour trouver ses racines ?

bah non.

On peut résoudre des truc du style x^n=y, mais pas tous les autres types de polynômes.

....puisque ln(y)/ln(x)=n

Bon alors ...


1) Il est IMPOSSIBLE de résoudre les équations du troisième degré en restant dans les réels. On est obligé de passer dans les complexes, même si c'est pour retomber sur trois racines réelles à la fin.
(C'est une conséquence de la théorie de Galois)


2) Les équations de degré 1, 2, 3 ou 4 peuvent être résolues par radicaux, c'est à dire qu'on peut trouver les solutions à partir de sommes, produits, quotient... et Racines n-ièmes des coefficients de l'équation.
Pour les équations de dégré >4, ce n'est plus possible, il n'y a plus de formule générale.
(encore la théorie de Galois)


3) on ne sait pas résoudre les équations de degré > à 5, y a encore des mathématiciens qui essayent de trouver des méthodes générales pour ça où ça sert à rien ?
* de degré >4
* bah la théorie de la résolution des équations P(x)=0 avec P polynome est terminée, achevée et on en parle plus
[edit]Edité par telchar le 24-03-2002 à 21:09:40[/edit]

zut, dommage...

pkoi dommage?

car il aurait voulu trouver la fameuse "formule magique"

je trouve que c'est bcp plus gratifiant de démontrer qu'il N'y a PAS de formule magique

S'il n'y a pas de formule magique et qu'on en trouve quand même une, c'est bien mieux

y'a quand mm des méthodes qui se recoupent pr resoudre les equations sur 3ème degré (j'ai oublié les 2autes méthodes connues mais je c qu'il y a celle de Cardan)

je connais que celle de Cardan pour résoudre toutes les équations dans C.

TOUTES ??

non, celles de 3éme degré je voulais dire.

Bon, quelles sont les racines de :

12x^3-14x²+34x-87
(Je veux les étapes)

1 racine : 1.81166272142
Etapes ? Ben tu prends ta calto...

Au fait Benjamin si P(x) a trois racines dans |R, il n'est pas forcément du 3°ème degré ! On a en réalité d(P) >= 3..
Au fait vs saviez que Cardan était un voleur ? (Il est devenu ami avec le véritable découvreur de la résolution des équatons en degré 3 pour mieux lui piquer ses formules)

12x^3 - 14x^2 + 34x -87 =0

(Au passage t'aurais pu le prendre unitaire)

on pose y= x-7/18

On aboutit ainsi à l'équation
2916y^3 + 6939y-18271=0 (merci Titane...)

On pose y=u+v, U=u^3, V=v^3.
Après quelques calculs on aboutit à
2916(U+V)+(8748uv+6939)(u+v)-18271=0

On pose 8748uv+6939=0

On se retrouve avec le système
{ U+V = 18271/2916
{ UV= -(257/324)^3

(t1 ça me broute)

Comme on échanger indifféremment u et v, on ne va calculer qu'UNE racine de cette équation.
Pour ça on résoud l'équation du second degré
t^2 - 18271/2916 * t - (257/324)^3 =0

Le discriminant est DELTA = 721819/17496, de racine carrée 7/324*sqrt(88386)

On prend alors U= (18271+63sqrt(88386))/5832

On note j le nombre complexe j=(-1+i*sqrt(3))/2

Les trois solutions pour u sont
u1 = 1/18 * racinecubique ( 18271 + 63 * sqrt(88386) )
u2 = j * u1
u3 = j^2 * u2

On utilise l'équation 8748uv+6939=0 pour trouver les solutions v CORRESPONDANTES :
v1 = -257/18 /racine_cubique(18271+63sqrt(88386))
v2 = j^2 * v1
v3 = j * v1

Comme x = u+v+7/18, on trouve les trois racines complexes dont une seule est réelle (j'ai plus le courage d'écrire les deux autres) :

[b]
7/18 + racinecubique(18271+63sqrt(88386))/18
        - 257/(18racinecubique(18271+63sqrt(88386)))
[/b]

ET C'EST UN IMMENSE PLAISIR DE CONSTATER QUE LE VALEUR NUMERIQUE DE CETTE EXPRESSION EST :
1.81166272142

heureusement il y a telchar, teeellchar! - à chanter sur la musique de la pub FINDUS de notre jeunesse -

ben ça alors, ma Ti trouve pareil

On pourrait remplacer :
sqrt() par ()^(1/2)
racinecubique() par ()^(1/3)


C'est plus clair (surtout pour "racinecubique()")

pov Ti.. avec sa simplification automatique elle est pas sortie de l'auberge

Quoi ?

Ca sert a rien ya pas de formules

Evidemment qu'il y a pas de formules.
Sinon c'est trop facile.

ben si ya des formules. suffit de résoudre symboliquement pour les avoir. mais ça sert à rien, faut faire plein de cas et tout et tout

Pour résoudre les équations cubiques, il y a des programmes. Par exemple mon P3EXACT. Il y a aussi P4EXACT du même style pour les équations quartiques, mais il y a souvent des "Error: Memory" avec P4EXACT. (Je devrais peut-être le réécrire en C ou en assembleur en faisant mes calculs en dehors de la pile d'expressions là où c'est possible, mais je ne sais pas si ça vaut le coup.)

En ce qui concerne les équations de degré >= 5, en effet il n'est pas possible d'en donner la solution générale sous forme d'une combinaison de racines nèmes avec les 4 opérations de base. Mais cela ne veut pas dire qu'il n'y a pas de solution avec d'autres fonctions plus bizarres (logarithmes, fonction gamma ou autres fonctions définies par des intégrales, ...). Je n'ai pas dit qu'il y en avait une, j'ai juste dit qu'il n'a (à ma connaissance) pas été montré qu'il n'y en avait pas.

c koi une fonction gamma ????

Et p3exact({12,-14,34,-87}) donne:
{(63*V(88386)+18271)^(1/3)/18-257/(18*(63*V(88386)+18271)^(1/3))+7/18,-(63*V(88386)+18271)^(1/3)/36+257/(36*(63*V(88386)+18271)^(1/3))+7/18+((63*V(88386)+18271)^(1/3)*V(3)/36+257*V(3)/(36*(63*V(88386)+18271)^(1/3)))*i,-(63*V(88386)+18271^(1/3)/36+257/(36*V(88386)+18271)^(1/3))+7/18+(-(63*V(88386)+18271)^(1/3)*V(3)/36-257*V(3)/(36*(63*V(88386)+18271)^(1/3)))*i}

La première solution est la solution réelle donnée par telchar.