Produit de convolution de deux fonctions - Page 1

L'ensemble F(N*,C) des fonctions de N* dans C est muni du produit "de convolution" défini par :



Il faut montrer que ce produit est commutatif, ça ça va, et qu'il est associatif, et là je ne vois pas comment faire. Si quelqu'un veut bien se casser un peu la tête...
J'ai essayé le changement de variables mais ça part dans tous les sens sauf le bon.

se casser la tête pour toi? tu payes combien? héhé

faut montrer que (f x g) x h = f x (g x h) avec f,g,h dans F(n*,C)

tu calcules le truc de gauche. tu vas trouver un résultat. Je suppose que les termes seront interchangeables. et en les repaquetant, tu pourras les identifier à l'expression de droite.

t'obtiens quoi? tu nous dis même pas a quoi t'es arrivé! montre nous tes étapes de calcul!

Hmmm, je me rappelle déjà avoir résolu ça...
L'idée, c'est un changement de variable: la somme pour tout d|n est la même chose que la somme de tout d'|n avec d'=n/d ou encore la somme de tous (d,d') avec d*d'=n. Cette astuce te permet de changer l'ordre de tes 2 sommes et donc d'obtenir l'associativité de ta convolution.

squalyl : c'est ce que j'ai fait, sauf qu'on ne peut pas interchanger "comme ça" les sommes...
Kévin Kofler : ça c'est pour montrer la commutativité, c'est déjà fait.

L'associativité se montre aussi avec ce changement de variable, tu as une somme sur (d,c,b) tel que d*c*b=m des 2 côtés.

Désolée si ça s'affiche en tout petit, je ne sais pas comment on fait... Vous cliquez dessus et ça s'ouvre dans une fenêtre en grand.

Bah, tu y est presque.

Avant-dernière ligne:
Somme d|n -> somme sur (d,e) tel que de=n.
Somme b|d -> somme sur (b,c) tel que bc=d.
Donc en total, tu sommes sur (b,c,e) tel que bce=n et tu as f(b)g(c)h(e).

Tu fais la même chose dans la dernière ligne et tu compares.

Ok merci j'ai trouvé ! Quand le serveur voudra bien, j'afficherai les formules.

C'est bon.

Non, je pense qu'en fait depuis le début c'est complètement faux ! On ne peut pas intervertir si facilement que ça les sommes ! La 1re, on somme sur l'ensemble des diviseurs de n, la deuxième sur l'ensemble des diviseurs d'un diviseur donné d de n. Si d est différent de n, l'ensemble de ses diviseurs est strictement plus petit (au sens de l'inclusion) que les diviseurs de n. Donc il ne faut même pas essayer d'interchanger les sommes (ou de dire qu'on somme sur la même chose) à mon avis. Il faut expliciter l'ensemble sur lequel on somme et on voit que ça ne marche pas... NON ?

T'as pas envie de revenir en L3 physique ? C'était plus facile, les ondes et tout... La belle époque

aure (./11) :
Non, je pense qu'en fait depuis le début c'est complètement faux !

Crois-moi, j'ai un diplôme BAC+5 de Mathématiques, et j'ai déjà fait cet exercice, je ne raconte pas n'importe quoi.

On ne peut pas intervertir si facilement que ça les sommes ! La 1re, on somme sur l'ensemble des diviseurs de n, la deuxième sur l'ensemble des diviseurs d'un diviseur donné d de n. Si d est différent de n, l'ensemble de ses diviseurs est strictement plus petit (au sens de l'inclusion) que les diviseurs de n. Donc il ne faut même pas essayer d'interchanger les sommes (ou de dire qu'on somme sur la même chose) à mon avis. Il faut expliciter l'ensemble sur lequel on somme et on voit que ça ne marche pas... NON ?

1. Tu pars d'une somme d|n et tu la convertis en une somme sur les couples (d,e) tel que de=n. C'est une transformation équivalente parce qu'il y a bijection entre les diviseurs d de n et les couples (d,e) tel que de=n, donnée par f:d|->(d,n/d) et f^-1d,e)|->d.
2. Idem avec somme b|d et somme (b,c) tel que bc=d.
3. Tu as la construction: somme de=n (somme bc=d (...)). Ça revient au même que la somme bce=n. Mettons que tu as d et e tels que de=n et que tu as b et c tel que bc=d, alors tu as clairement b, c et e (uniques) tels que bce=n. Mettons dans l'autre sens que tu as b, c et e tels que bce=n: tu poses d=bc et tu as d et e (uniques) tels que de=n et b et c (uniques) tels que bc=d. Donc les 2 sommes sont équivalentes. La bijection ici, c'est g(b,c),(d,e))|->(b,c,e) et g^-1b,c,e)|->((b,c),(bc,e)).[nosmile]

Hmmm, en fait tes formules du ./9 ne sont pas tout à fait bonnes (je n'avais pas regardé suffisamment attentivement), il te reste une seule somme quand tu regroupes les 2 sommes!
somme de=n (somme bc=d (...)) = somme bce=n (...)

Thibaut : enfin, les maths c'est pas si dur que ça, j'ai quand même 16 de moyenne en L3.
Kévin Kofler : ok merci, je vais réexaminer le calcul avec ces indications. Je ne doute pas de toi, c'est un copain qui m'a dit qu'il trouvait ça trop simple pour être bon.

Cette fois c'est bon ? (Moi ça me paraît bon en tout cas... )

J'espère que c'est lisible... Sinon quelqu'un veut bien m'expliquer comment on fait pour insérer des formules ? Parce que c'est un peut le système D là...

on peut, mais je sais plus comment
edit: trouvé
http://prettyprint.free.fr/

Oui, cette fois-ci c'est bon, je ne vois plus d'erreurs en tout cas.

J'ai essayer de mieux rédiger en reprenant ton idée de couples :

Merci pour le coup de main !

C'est clâss
Vos profs ne vous apprennent pas LateX ? PPF nous a raconté aujourd'hui qu'il est fan de Linux et qu'il fait tous ses documents sous LateX (polys de cours, mails, etc). Il nous expliquait que c'est ce qu'on fait de mieux pour la rédaction de documents orientés vers la physique ou les maths et qu'on devrait apprendre à s'en servir.

Pour faire des articles de recherche c'est fortement conseillé aussi...
(Les produits de convolution me rappellent le prof qui nous a fait ce cours-là

Oui. Il même publié un bouquin rédigé entièrement avec LateX. Je ne sais pas si c'est courant...

si.

cf les trucs oreilly, par exemple la collection "in a nutshell".

y'en a d'autres.

Mais... Les fonctions que j'ai mis plus haut c'est du LaTeX !!! exporté en PNG pour le mettre sur le forum, effectivement c'est sous Linux, il y a une bonne interface graphique d'installée à la fac, LyX, sous Linux.

OK