Fonctionnement mathématique d'un prisme - Page 1

Alors qu'en maths on se fait chier pour calculer des transformées de Fouriers, j'aimerais comprendre comment les prismes séparent les ondes (autrement que par des formules) de manière non-empirique.
Ie comment un petit prisme peut, à partir d'un signal, découper ce qu'il y a à une certaine fréquence.


Je me demande la même chose pour les pigments des yeux, enfin pour tous les trucs naturels qui à partir d'un signal en isolent une seule fréquence.

Comment font-ils alors que nous on se fait chier avec plein d'intégrales ?

ben les nieux ils ont des molécules qui absorbent différentes longueurs d'ondes et laissent passer les autres
absorption = sorte de résonance de la molécule à la fréquence de la couleur associée

et le prisme il a pas le choix, son indice de réfraction dépend de la fréquence.

après la question intéressante c'est 'pourquoi ça', je l'ai appris mais j'me souviens plus ^^

Pour le prisme, comme le dit squalyl, l'indice de réfraction varie légèrement suivant la longueur d'onde de la lumière, et donc l'angle de réfraction varie aussi en conséquence (c'est la loi de Snell-Descartes, si je raconte pas de conneries...). Donc quand tu injectes de la lumière blanche (qui est un mélange de plein de longeurs d'ondes) dans le prisme, chaque longueur d'onde se réfracte avec un angle un peu différent, ce qui donne cet effet d'arc-en-ciel.

Pour le reste, le truc à bien comprendre c'est la dualité entre l'espace "normal" (temporel ou spatial, suivant le cas) et l'espace de Fourier : le produit de convolution dans un espace correspond à un produit "ordinaire" dans l'autre.

Par exemple, l'égaliseur d'une chaîne hi-fi, en (très) gros, c'est juste un coefficient multiplicatif qui varie suivant la fréquence : si tu mets beaucoup de basses et peu d'aigües, tu peux avoir p.e. un truc qui a un gain de 1.6 en basse fréquences et qui descend jusque 0.3 en hautes fréquences. Ça c'est dans l'espace de Fourier.
Si tu regardes la réponse temporelle, tu as un produit de convolution par la réponse impulsionnelle du filtre (le truc tordu avec les intégrales).
Mais au final ce sont deux façons différentes d'exprimer le même phénomène.

Même chose avec un truc optique, il va réfleter plus ou moins selon la fréquence (donc la longueur d'onde) : tu multiplies l'onde lumineuse incidente par un coeff entre 0 et 1 (idem, c'est simplifié, en vrai c'est plus complexe).

Squalyl> Oui, c'est le "pourquoi ça" qui m'intéresse, la mathématique qu'il y a en dessous...
Comment l'indice de réfraction fait-il pour différencier les différentes fréquences, ce qui n'a rien d'aisé.
Ie comment la nature arrive à faire ce qu'on fait avec des tonnes d'intégrales.

Bah elle le fait naturellement c'est tout

En fait je connais plus ou moins l'optique géométrique (ce que j'avais vu en sup) ; mais je me demande comment ça se passe, en dehors des lois qu'on a établies empiriquement.
Parce que, effectivement, ce qui se passe est mathématiquement compliqué : Le prisme a quand même séparé des fréquences d'un signal alors que nous on est obligé d'utiliser des algorithmes compliqués pour le faire.

Je doute que le prisme ait connaissance de l'exponentielle complexe ^p

Dans ce cas-là, faut creuser du côté des équations de propagation des ondes, je crois.

À la base, tu observes que les grandeurs physiques d'un milieu sont reliées entre elles par des équations différentielles, en les résolvant mathématiquement tu peux en déduire les ondes qui peuvent se propager dans ce milieu et comment, et tu dois retomber sur les formules qui dépendent de la fréquence.

arnsy (./6) :
Je doute que le prisme ait connaissance de l'exponentielle complexe ^p

Faut bien voir que l'exponentielle complexe c'est NOTRE manière en tant qu'humains (et seulement l'UNE des manières) d'interpréter un phénomène naturel, hein, pas le contraire
(et après tout la mécanique quantique montre que la nature est capable de faire des calculs bien plus tordus )

Ça a l'air compliqué comme ça, mais en fait la convolution par exemple est un phénomène super courant dans la nature pour tous les milieux linéaires (lumière, son, etc.)

Zerosquare (./7) :

arnsy (./6) :
Je doute que le prisme ait connaissance de l'exponentielle complexe ^p

Faut bien voir que l'exponentielle complexe c'est NOTRE manière d'interpréter un phénomène naturel, hein, pas le contraire

Ça a l'air compliqué comme ça, mais en fait la convolution par exemple est un phénomène super courant dans la nature pour tous les milieux linéaires (lumière, son, etc.)

Oui, je sais bien, mais c'était juste une manière de me faire comprendre ^p

Alors déjà il faut savoir qu'on t'a menti si on t'a dit que la vitesse de la lumière est constante, ou plutôt on a omis un détail très important: la vitesse de la lumière dans le vide est constante. Quand elle traverse de la matière, elle en est plus ou moins ralentie.

Et là, premier coup de magie: l'indice de réfraction est en fait le quotient des vitesses de la lumière entre les 2 milieux. Ce qui détermine l'angle obtenu est tout simplement le quotient des 2 vitesses.

Et deuxième coup de magie: la vitesse de la lumière dans certains milieux, comme justement le verre du prisme, dépend de la fréquence. Cet effet est dû à la forme des équations différentielles décrivant les ondes et est d'autant plus important que la matière en question est dense (il faut que tu t'imagines la matière comme un obstacle aux photons). Et comme la vitesse dépend, l'indice de réfraction aussi (cf. ci-dessus). C'est de là que ça vient.

Cf. aussi http://en.wikipedia.org/wiki/Dispersion_(optics) et http://en.wikipedia.org/wiki/Refractive_index.

J'avais lu des choses sur ce sujet. C'est loin et j'essaie de reconstituer, alors il peut y avoir des conneries. Mais bon.


Intéressons nous à la propagation des ondes électromagnétiques dans un métal. (C'est à dire un matériau homogène, globalement neutre, avec une mer d'électrons libres)

Intuitivement, quand l'onde avance dans le métal, elle va déplacer les électrons, les noyaux, positifs et lourds, restant fixes. Ces charges + fixes vont ensuite attirer les - qui se sont barrés, et les faire revenir à leur point de départ. Bref les électrons vont osciller sous l'influence de l'onde et des noyaux positifs. Le mouvement des électrons, en retour, agit sur le champ électromagnétique.

Ce système onde + électrons mobiles + noyaux fixes ressemble à un oscillateur forcé.

Ensuite on peut résoudre les équations de Maxwell. On se rend compte qu'il y a une fréquence propre du métal, qu'on appelle la fréquence plasma, omega_P. Elle dépend de la structure microscopique du métal (densité électronique, tout ça)

La part d'onde qui est absorbée par le métal, ainsi que sa vitesse de propagation dans le métal, dépend de sa fréquence omega.

Une onde de fréquence omega >> omega_P va trop vite pour faire bouger les électrons, et le métal est transparent pour cette onde, la vitesse est ~c.
Une onde de fréquence omega << omega_P est ne peut pas pénétrer le métal, elle est réfléchie.
Entre ces deux cas, la situation est intermédiaire ; ça doit ressembler à de l'exponentielle de omega/omega_P.


Pour la plupart des métaux, omega_P est assez loin de la lumière visible, ce qui fait que tout le spectre visible est uniformément réfléchi et ça leur donne cette couleur métallique.
Pour le cuivre ou l'or, omega_P est assez proche du visible, ce qui fait qu'ils ne réfléchissent pas le même pourcentage de rouge et de violet, et du coup ils ont leur couleur cuivrée ou dorée.

Dans tous les cas ils faut de hautes fréquences (rayons X ou rayons gamma) pour traverser un métal, et les métaux sont opaques aux basses fréquences (lumière visible -> ondes radio)



De plus la vitesse de l'onde dans le métal dépend de sa longueur d'onde, or l'indice de réfraction c'est c/v où v est la vitesse de la lumière dans le milieu. Donc l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde. CQFD




Bon tout ça c'est pour le métal, qui est un cas idéal ; pour d'autres matériaux comme le verre je suppose que le raisonnement est analogue avec des complications.

mais je me demande comment ça se passe, en dehors des lois qu'on a établies

Donc en gros c'est les électrons qui vibrent, avec les contraintes que leur impose le métal.


(cross)

Ca me fait me poser une question de néophyte en la matière : de ce que tu dis, la lumière est une onde électromagnétique qui, pour se déplacer, a besoin d'un support (les électrons, donc, qui gravitent autours de noyaux).
Dans l'espace, que l'on dit vide mais pas vraiment, comment est-ce que la lumière peut se propager sans support ? En fait, ce que je ne comprends pas, c'est que la lumière puisse se propager, mais pas le son. Plus exactement, je comprends que ce ne sont pas des mêmes ondes du même type (la lumière est une onde électromagnétique, le son une onde mécanique), mais s'il y a des électrons, on devrait avoir quand même des noyaux, assez proches les uns des autres pour qu'il y ait transmission. Et ces noyaux doivent bien pouvoir être excités mécaniquement, non ?
Ou alors c'est parce qu'il y a besoin d'un autre paramètre (l'air, par exemple) pour transmettre l'énergie mécanique du son ? Mais pourtant, quand on frappe du métal, ce n'est pas l'air qui transporte la vibration, on devrait donc avoir des mouvements oscillatoires dûs aux sons entre les noyaux qui permettent aux électrons de se mouvoir, non ?
Ou alors on a de vastes zones avec des mouvements électriques sans noyaux ?

Enfin, ma question est peut-être débile, hein, mais même une réponse débile peut m'intéresser.

le son est une onde de pression qui se propage donc grâce aux vibrations de l'air dans l'air, et aux vibrations du métal dans le métal. A l'interface il y a un transfert d'énergie non parfait; l'air en vibration donne une partie de son mouvement au métal (pour l'exemple) et le métal se met a vibrer avec cette énergie que l'air lui a donné.

les ondes électromagnétiques sont une onde de champ électrique et magnétique, qui n'a pas besoin de support matériel pour exister. (pourquoi?)
dans le métal c'est pareil, le champ électomagnétique qui arrive à la surface d'un métal fait vibrer ses électrons, qui se transmettent alors la "vibration" de proche en proche.

le transport dans le vide et dans les matériaux est assez différent, au moins ses mécanismes.


arnsy: se poser la question "la nature connait elle l'exponentielle complexe?" est une mauvaise question. la nature fait, et sans se poser de questions. Les exponentielles complexes arrivent quand l'homme essaye de modéliser ce que fait la nature.

Nil (./11) :
Ca me fait me poser une question de néophyte en la matière : de ce que tu dis, la lumière est une onde électromagnétique qui, pour se déplacer, a besoin d'un support (les électrons, donc, qui gravitent autours de noyaux).

Oui la lumière visible est un cas particulier d'onde électromagnétique (elle est visible quand sa longueur d'onde est comprise entre tant et tant).

Mais non, une onde électromagnétique n'a pas besoin de support.

Il y a partout, dans l'espace, un champ électromagnétique. Quand elles sont présentes, il agit sur les particules chargées, et les particules chargées agissent sur lui. Mais il n'en existe pas moins en l'absence de toute particule.

Les ondes électromagnétiques, c'est un cas particulier d'évolution du champ électromagnétique.

Analogie :
le champ électromagnétique = l'océan
les particules chargées = les bateaux
les ondes électromagnétiques = les vagues
(on suppose qu'il n'y a pas de vent)

Dans l'espace, que l'on dit vide mais pas vraiment, comment est-ce que la lumière peut se propager sans support ?

Oui, et même le vide est le meilleur conducteur de lumière.

En fait, ce que je ne comprends pas, c'est que la lumière puisse se propager, mais pas le son. Plus exactement, je comprends que ce ne sont pas des mêmes ondes du même type (la lumière est une onde électromagnétique, le son une onde mécanique),

Voilà, le son c'est une variation de pression de la matière qui se transmet de proche en proche. Sans matière, pas de son.

mais s'il y a des électrons, on devrait avoir quand même des noyaux, assez proches les uns des autres pour qu'il y ait transmission. Et ces noyaux doivent bien pouvoir être excités mécaniquement, non ?

Tu parle de transmission du son dans l'espace ?
Bon, au fur et à mesure que la pression diminue, le son se propage de moins en moins bien.
Dans le vide interplanétaire, la pression n'est pas rigoureusement nulle, on devrait encore pouvoir parler de son, simplement la pression est tellement infime que les phénomènes sonores deviennent complètement négligeables.

Ou alors c'est parce qu'il y a besoin d'un autre paramètre (l'air, par exemple) pour transmettre l'énergie mécanique du son ? Mais pourtant, quand on frappe du métal, ce n'est pas l'air qui transporte la vibration, on devrait donc avoir des mouvements oscillatoires dûs aux sons entre les noyaux qui permettent aux électrons de se mouvoir, non ?

Oui, il n'y a pas que l'air, il y a des tonnes de matériaux qui transportent le son souvent mieux que l'air.

Au passage d'une onde sonore, ce ne sont pas seulement les électrons qui bougent, c'est toute la matière qui vibre.

(cross)

(cross)

Les ondes électromagnétiques ne se propagent pas à l'aide d'électrons, mais de photons. Ces particules voyagent très bien dans le vide.

même dans un métal?

Hippopotame (./13) :
Dans le vide interplanétaire, la pression n'est pas rigoureusement nulle, on devrait encore pouvoir parler de son, simplement la pression est tellement infime que les phénomènes sonores deviennent complètement négligeables.

Hum, en fait, il y a des oscillations sonores, mais dont l'amplitude tend rapidement vers zéro, si je comprends bien...

En fait, j'ai du mal à concevoir des champs électromagnétiques sans support, mais probablement parce que j'ai une fausse idée de ce qu'est un champ électromagnétique (pour moi, c'est un champ qui ne peut que finir attiré quelque part, donc au final, il ne devrait pas y en avoir dans le vide - en fait j'oublie qu'un champ est d'abord généré, donc qu'il part d'un endroit de façon régulière, comme le soleil, par exemple, c'est ça ?)

Kevin Kofler (./15) :
Les ondes électromagnétiques ne se propagent pas à l'aide d'électrons, mais de photons. Ces particules voyagent très bien dans le vide.

TOUTES les ondes électromagnétiques ? (Si c'est ça, alors effectivement, ça répond définitivement à ma question).

question con: pourquoi un aimant ne pourrait pas marcher dans le vide selon toi?

a la base un champ c'est juste une caractéristique de tout point de l'espace, ses sources sont matérielles mais à part ça rien d'autre n'est nécessaire pour que son existence soit possible ailleurs qu'a ses sources.

imagine le champ gravitationnel créé par des masses
imagine le champ magnétique créé par un aimant

ce qui nous trompe je pense, c'est que nous ne voyons le champ que par ses effet sur des objets (fer attiré, planètes attirées) mais ça ne caractérise pas tout le champ en entier

(je l'exprime très mal mais y'a sans doute de l'idée)

Nonon mais je comprends tout à fait, en fait. En plus, je sais tout ça, mais j'ai bloqué sur cette question plusieurs fois...
Donc quand on reçoit de la lumière de l'espace lointain, la lumière est déviée par les mouvements des champs magnétiques, j'imagine ? Ou alors c'est peanuts sauf dans des cas très particuliers comme les trous noirs ?

(Désolé du squat de topic, arnsy... si ça te dérange, on peut demander un fork).

je suis pas sur qu'il y ait des champs magnétiques tout con comme ça dans l'espace, ni que ça ait une quelconque influence sur la lumière en fait

(par contre la gravité peut dévier la lumière mais on s'éloigne là ^^)

Bah en fait, si les grands corps (planètes, étoiles) ont un champ magnétique, j'imagine que toute lumière qui passe près d'eux doit être déviée (mais c'est peut-être aussi du fait du champ gravitationnel... donc bon, euh...)

Nil (./18) :
TOUTES les ondes électromagnétiques ? (Si c'est ça, alors effectivement, ça répond définitivement à ma question).

Oui oui, de toute façon toutes les ondes électromagnétiques sont de même nature. Ce sont des variations sinusoïdales et simultanées du champ électrique et du champ magnétique, qui se propagent dans l'espace. La seule chose qui change entre deux ondes électromagnétiques, c'est leur longueur d'onde (ou leur fréquence, ce qui revient au même).

Bon ensuite la mécanique quantique a découvert qu'une onde électromagnétique de fréquence nu, ne peut pas avoir n'importe quelle intensité : elle ne peut transporter comme énergie qu'un nombre entier de fois h*nu (où h est la constante de Planck).

Du coup en mécanique quantique on a une autre vision des ondes électromagnétiques : une onde de fréquence nu, c'est un troupeau de photons, particules élémentaires, transportant chacun l'énergie h*nu.

Voilà, onde et particule ce sont les deux visions concurrentes de ce qu'est la lumière.

(crosss)

(En tout cas, merci d'oeuvrer - même si c'est pénible - à me rendre tous les jours un peu moins bête )

Nil (./22) :
Bah en fait, si les grands corps (planètes, étoiles) ont un champ magnétique, j'imagine que toute lumière qui passe près d'eux doit être déviée (mais c'est peut-être aussi du fait du champ gravitationnel... donc bon, euh...)

Nan un champ magnétique ne dévie pas la lumière (bon un champ hyperintense comme celui d'un pulsar peut quand même changer la propagation de la lumière (le vide est polarisé) mais d'une part c'est vraiment exotique, et d'autre part je ne sais pas si ce n'est pas un phénomène quantique particulier, qui n'aurait rien à voir avec l'électromagnétisme classique - enfin je ne sais pas)


Sinon en ce qui concerne la gravité qui dévie la lumière : un objet massif courbe l'espace, et la lumière autour de cet objet massif n'est déviée que parce que l'espace est courbé. Mais en fait elle avance toujours tout droit sur cet espace courbé.

Hippopotame (./25) :

Nil (./22) :
Bah en fait, si les grands corps (planètes, étoiles) ont un champ magnétique, j'imagine que toute lumière qui passe près d'eux doit être déviée (mais c'est peut-être aussi du fait du champ gravitationnel... donc bon, euh...)

Nan un champ magnétique ne dévie pas la lumière (bon un champ hyperintense comme celui d'un pulsar peut quand même changer la propagation de la lumière (le vide est polarisé) mais d'une part c'est vraiment exotique, et d'autre part je ne sais pas si ce n'est pas un phénomène quantique particulier, qui n'aurait rien à voir avec l'électromagnétisme classique - enfin je ne sais pas)

Arf, j'ai du mal à concevoir ça. Mais c'est peut-être encore que j'ai des idées préconçues fausses...
Pour moi, un champ électromagnétique a une direction (il a une source, et s'en éloigne - champ magnétique terrestre, solaire...). Et si une onde électromagnétique le traverse, elle devrait être affectée par ça. Là, il y a quelque chose que je ne comprend pas...

non, un champ est présent en tout point de l'espace, même si sa valeur est nulle à beaucoup d'endroits.

le champ magnétique n'est pas un flux de quelque chose, il ne s'éloigne de rien

un champ electromagnétique, je sais pas si ça existe.

le seul truc "electromagnétique" que je connaisse, c'est les ondes EM car les équations de maxwell ne couplent que les variations des champs E et M un champ magnétique ou électrique statique ne fait rien de spécial.

hmm, disons que l'onde et le champ se superposent (et effectivement la somme des deux donne un phénomène un peu compliqué) mais sans agir l'un sur l'autre, et finissent par se séparer tranquillement à la fin. Un peu comme deux trains de vagues qui se croiseraient (donnant une oscillation compliquée) mais continueraient en fait leur chemin sans être affectés.

Dans le même genre d'idée, on remarque que deux rayons lumineux peuvent se croiser sans être affectés (genre deux lampes torches avec un angle de 90°). Pourtant ce sont deux phénomènes électromagnétiques qui se rencontrent.... Les équations de Maxwell font qu'ils se superposent sans agir l'un sur l'autre.

(cross)

un champ electromagnétique, je sais pas si ça existe.

Ben disons qu'il y a un champ électrique et il y a un champ magnétique, donc on peut bien dire qu'il y a un champ électromagnétique, qui est la donnée des deux...
Ensuite effectivement les deux ne sont pas toujours couplés...

oui en effet.