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VIII) Et pour une particule ou un système plus compliqués ?


Jusque là il était question d'une particule dans une boîte [0,1] => sa fonction d'onde vit dans L²([0,1]).


Si c'est une particule libre, dans un espace à 1 dimension, sa fonction d'onde est, c'est assez clair, un élément de L²(R).


Dans un espace à trois dimensions? => L²(R^3)




Imaginons maintenant qu'il y ait deux particules dans la boîte [0,1]. En mécanique classique, il faudrait un couple (x,y) € [0,1]² de coordonnées pour définir l'état du système. => En mécanique quantique, l'état du système est une fonction d'onde dans L²([0,1]²).


De façon générale, si U est l'espace des phases d'un système classique, alors l'espace des phases du système quantique correspondant est L²(U) : le système quantique est défini par une fonction d'onde qui est une densité de présence sur l'ensemble des états classiques possibles.




Autre exemple : une particule dans un espace à 1 dimension, qui a une charge électrique (=> un entier).
Quantiquement son espace des phases est L²(RxZ) : en méca classique il faut pour la définir un couple (position, charge) où position est un réel et charge un entier.


Un système de trois particules chargées qui se baladent dans l'espace? => L²( R^3 x Z x R^3 x Z x R^3 x Z ).




Un dernier exemple pour voir qu'il n'y a pas que la position n'est pas toujours importante : le qubit.

Un bit est un système classique qui a deux états : Haut et Bas (je fais exprès de ne pas écrire "0" et "1", pour ne pas confuser les calculs).

Donc l'espace des phases d'un bit est {Haut, Bas}.

=> L'espace des phases du qubit, l'équivalent quantique du bit, est L²({Haut, Bas}).
Cet espace est isomorphe à C², une base orthogonale étant (Haut,Bas).

L'état d'un qubit est donc une fonction d'onde 32196.png où a et b sont deux nombres complexes.

On normalise ψ, de sorte que |a|²+|b|²=1.

On dispose d'un opérateur "mesure du qubit" ; quand on fait la mesure on va trouver Haut avec une probabilité |a|² ou Bas avec une probabilité |b|² et la fonction d'onde va être ramenée à l'état pur (Haut ou Bas) correspondant.



Souvent, quand on a un système quantique très compliqué, on peut juste dire que l'espace des phases est un espace de Hilbert (donc de la forme L²(quelque chose) ), sans pouvoir expliciter le "quelque chose". Mais ça n'empêche pas qu'on puisse faire des calculs avec...






IX) Composition de systèmes

Dans cette partie, on a maintenant deux boîtes [0,1] et [2,3].



On appelle (E) le système : une particule dans la boîte [0,1].

On appelle (F) le système : une particule dans la boîte [2,3].

On appelle (E OU F) le système : une particule, qui se trouve soit dans la boîte [0,1] soit dans la boîte [2,3].

On appelle (E ET F) le système : une première particule dans la boîte [0,1] et une deuxième particule dans la boîte [2,3].


Voyons les espaces des phases :


- En mécanique classique

(E) => [0,1] (une coordonnée dans la première boîte)

(F) => [2,3] (une coordonnée dans la deuxième boîte)

(E OU F) => [0,1] U [2,3] (une coordonnée dans l'une des boîtes)

(E ET F) => [0,1] x [2,3] (un couple de coordonnées)


- En mécanique quantique

(E) => L²( [0,1] )

(F) => L²( [2,3] )

(E OU F) => L²( [0,1] U [2,3] )

(E ET F) => L²( [0,1] x [2,3] )


Or il se trouve que

L²( [0,1] U [2,3] ) = L²([0,1]) x L²([2,3]) où x est le produit scalaire

et que

L²( [0,1] x [2,3] ) = L²([0,1]) ⊗ L²([2,3]) où ⊗ est le produit tensoriel de deux espaces vectoriels.


Opérations sur les espaces des phases qui correspondant aux compositions de systèmes
ClassiqueQuantique
OUU
x ETx


On voit qu'un système quantique composé contient beaucoup plus d'information qu'un système classique équivalent. En effet, si dim A = n et dim B = m, alors dim AxB = n+m alors que dim A⊗B = nm.


Application aux qubits

On considère un système de deux qubits.
L'état du premier est une combinaison linéaire de Haut1 et Bas1, le second, des états Haut2 et Bas2.

Le système complet a alors pour état une combinaison linéaire32201.png .

Si jamais l'état du système est un produit tensoriel "état 1" ⊗ "état 2", c'est à dire32206.png , alors on peut dire que sans ambiguïté le premier qubit est dans l'état32207.png et le second est dans l'état32208.png .

Mais en général,32201.png ne peut pas s'écrire sous cette forme.

On dit alors que les deux qubits sont intriqués, chacun n'a pas un état indépendant de l'autre.

C'est grâce à l'intrication quantique que le système porte plus d'information que les deux qubits séparément.

C'est aussi grâce à ce phénomène que l'ordinateur quantique fait rêver : avec un système de seulement 100 qubits, on ferait des calculs dans un espace de dimension 2^100 = 1267650600228229401496703205376, autrement dit du calcul massivement parallèle.

Les droits inaliénables du troll :
1) le droit d'avoir raison
2) le droit d'être péremptoire
3) le droit de ne pas lire
4) le droit de ne pas répondre
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Hippopotame (./90) :
Autre exemple : une particule dans un espace à 1 dimension, qui a une charge électrique (=> un entier).
La charge n'est pas fixe confus
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Le système peut être une superposition d'états de charges différentes cheeky

De toute façon en MQ tout est linéaire, dès qu'on a deux possibilités, on a aussi toutes les combinaisons des deux...
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Oui mais je ne savais pas qu'une particule pouvait avoir différentes charges, il me semblait que sa charge était intrinsèque et invariable. (Comme sa masse, enfin pour sa masse j'en étais plutôt même moins sûr à cause des effets relativistes...)
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Pour la masse aussi on peut avoir une superposition d'états (puisqu'il en est ainsi pour l'énergie et qu'il y a équivalence masse-énergie). Ça joue d'ailleurs un rôle fondamental dans le problème des neutrinos solaires. C'est aussi quelque chose qui pose problème quand on doit marier théorie quantique et relativité générale : on voit mal comment l'espace temps pourrait avoir une métrique qui soit une superposition des métriques correspondant aux états propres de masse...

Les effets relativistes il n'y en a pas en mécanique quantique, on est dans un univers galiléen (passer à la théorie quantique relativiste, c'est tout une autre théorie à développer...)
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(Tiens, une question annexe : Hippo, tu fais comment pour continuer à développer tes connaissances en sciences ? Tu bouquines la littérature spécialisée ? Ou tu te satisfais de publis sur le Web ? Ou là où tu es tu as accès à une information diversifiée ? Et spontanément, ça t'es facile, ou tu dois t'imposer quelque chose pour ne pas céder à la facilité de te reposer sur tes connaissances ?)
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Moui ok pour la masse, mais par exemple un électron peut-il avoir une autre charge que e (enfin -e) ?
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Non mais on peut avoir la superposition d'un électron et d'autre chose comme un positron.
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On peux revenir sur les meilleurs news de science ? embarrassed

Zavez qu'a faire un topic sur la mécanique quantique embarrassed
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GCC4TI importe qui a problème en Autriche, pour l'UE plus et une encore de correspours nucléaire, ce n'est pas ytre d'instérier. L'état très même contraire, toujours reconstruire un pouvoir une choyer d'aucrée de compris le plus mite de genre, ce n'est pas moins)
Stalin est l'élection de la langie.

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Ben si t'as une meilleure news de science à poster, poste-la...
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Ah là là, je pars un WE, et voilà qu’on se prend un cours magistral et magistralement bien fait de mécanique quantique, merci Hippo’ love !
Hippopotame (./50) :
c c'est une vitesse liée à la façon dont l'espace-temps est foutu, la lumière ne va à c que par hasard (en fait parce que les photons n'ont pas de masse) grin
Au passage, le second postulat d’Einstein, selon lequel la vitesse de la lumière est identique dans tout référentiel galiléen (le premier postulat étant celui de Galilée, à savoir que les lois de la physique sont les mêmes dans tout référentiel galiléen) est en fait superflu et découle de deux postulats plus fondamentaux, à savoir l’homogénéité et l’isotropie de l’espace-temps (postulat déjà présent implicitement dans la pensée de Galilée, du moins pour l’espace d’une part et le temps d’autre part) et la fusion en une seule entité de l’espace et du temps (nouveauté due à Einstein et contemporains).
Mathématiquement, le théorème utilisé le plus compliqué est celui de Pythagore roll, et le résultat est que, dans un espace-temps homogène et isotrope, il existe une vitesse limite constante, laquelle pouvant être soit infinie (transformations de Galilée) soit finie (transformations de Lorentz), l’expérience seule pouvant départager entre ces deux possibilités.
Hippopotame (./97) :
Non mais on peut avoir la superposition d'un électron et d'autre chose comme un positron.
Même si les règles de super-sélection interdisant les superpositions d’états propres de charges ou de masses différentes ont finalement été invalidées, il n’en reste pas moins que de telles superpositions sont, en pratique, difficiles à réaliser ou à observer (je n’ai en tête que la superposition des états propres de masse des neutrinos expliquant leur oscillation (ah, si, y’a aussi la matrice CKM, je crois)).
Donc même si on peut avoir superposition d’un électron et d’un positron, en pratique, c’est difficile à avoir…
Sinon, ça me fait penser que l’électron physique, celui que l’on observe, est en réalité la superposition d’un électron eL interagissant avec le W et d’un anti-positron eR insensible au W wink.
Nil (./95) :
(Tiens, une question annexe : Hippo, tu fais comment pour continuer à développer tes connaissances en sciences ? Tu bouquines la littérature spécialisée ? Ou tu te satisfais de publis sur le Web ? Ou là où tu es tu as accès à une information diversifiée ? Et spontanément, ça t'es facile, ou tu dois t'imposer quelque chose pour ne pas céder à la facilité de te reposer sur tes connaissances ?)
Ça m’intéresse aussi wink.
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Je ne suis pas développeur Java : je suis artiste Java.
Ce que l’on conçoit bien s’énonce clairement, / Et le code pour l’écrire arrive aisément.
Hâtez-vous lentement ; toujours, avec méthode, / Vingt fois dans l’IDE travaillez votre code.
La perfection est atteinte, non pas lorsqu’il n’y a plus rien à ajouter, mais lorsqu’il n’y a plus rien à retirer.
You don't use science to show that you're right, you use science to become right.

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(je pense que tu devrais ouvrir un blog, Hippo)
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« Tout homme porte sur l'épaule gauche un singe et, sur l'épaule droite, un perroquet. » — Jean Cocteau
« Moi je cherche plus de logique non plus. C'est surement pour cela que j'apprécie les Ataris, ils sont aussi logiques que moi ! » — GT Turbo

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topic >> blog embarrassed
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Sally : un blog a l'avantage d'être facile à organiser en articles/sujets, mais c'est moins pratique pour commenter, c'est vrai.
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6a00d83451decd69e201538f239b51970b-800wi

Ah c'est pour ça qu'il fait si chaud !! Fichu (presque) aérolithe !



(Pour squalyl : voici une tentative d'étalement du pic après la mesure cheeky [img]http://www.mirari.fr/pKDV [/img])
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Petite fournée de news scientifiques wink :
[PALÉONTOLOGIE] Les dinosaures auraient été à sang chaud.
[PLANÉTOLOGIE] Un grand océan aurait bien existé sur Mars.
[GÉNÉTIQUE] Un gène lié à une forme d’épilepsie a été identifié.

Notons que pour les dinosaures à sang chaud, c’était déjà le parti pris par Spielberg dans le premier Jurassic Park, dans la scène où un raptor respire près d’une vitre et crée de la buée (même si en fait « Velociraptor n'est qu'une vulgaire dinde enragée assez petite pour que même un gosse soit capable de l'achever à coup de tatanes » tongue).
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Les raptors de Jurassic Park sont plutôt des deinonychus oui, vu le gabarit...
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"- Nigga you know what the fuck I want, nigga: I want your motherfuckin' Daytons, and your motherfuckin' stereo! And I'll take a double burger with cheese!
- WHUT?"
I LOVE TO HATE/I HATE YOUR LOVE -AND I CAN'T FEEL AFFECTION FOR PEOPLE LIKE YOU!
CAALGOOONNNNN [TELLMESOMETHINGIDONTKNOWSHOWMESOMETHINGICANTUSEPUSHTHEBUTTONSCONNECTTHEGODDAMNDOTS] (Si Dieu existe il doit me détester...)

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(il faut aussi rappeler qu'il s'agissait d'un film de science fiction et non d'un documentaire scientifique...)
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Webmaster du site Ti-FRv3 (et aussi de DevLynx)
Si moins de monde enculait le système, alors celui ci aurait plus de mal à nous sortir de si grosses merdes !
"L'erreur humaine est humaine"©Nil (2006) // topics/6238-moved-jamais-jaurais-pense-faire-ca

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./111 > Tout à fait happy !
Mais il manque quand même les plumes tongue (lesquelles avaient fait pleurer Boulet grin) : ça doit être à cause de l’ADN de grenouille utilisé, alors que l’ADN de poule aurait été plus adapté embarrassed.

./112 > Oui, et il y a aussi le fait que « raptor » est bien plus simple à prononcer et retenir pour le grand public que « deinonychus ».

Ah au fait, il semblerait qu’un Jurassic Park 4 soit prévu wink.
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Soit c'est démontré, soit c'est pas démontré.
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Comme indiqué dans l’article, une démonstration a été proposée, une faille a été trouvée, donc soit cette faille sera comblée, soit une nouvelle démonstration réutilisant certains morceaux de cette proposition sera faite, soit on n’a plus qu’à repartir de zéro.
Mais même si la démonstration proposée est fausse, ce n’est pas une raison pour la rejeter dédaigneusement, elle peut faire avancer les choses.
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./115 : Comme dirait Nil : "Gnagnagna embarrassed"

Pour la démo du théorème de Fermat, il y avait des failles au début qui ont été rapidement comblées.

Bon ici, la démo proposée est apparemment étonnamment courte, donc soit les travaux précédents étaient passé à côté d'un truc important, soit toute la difficulté réside dans la faille.
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119

Scoop !

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