1+1 ? - Page 3

jibax :

4) ce que je voulais dire c'est que les mathematiques sont basés sur des axiomes, que si on les modifie, alors 'pour moi' ce n'est plus des maths. A la limite c'est une nouvelle science qui n'a pas de nom. Peut etre existe il des gens qui posent des axiomes et établissent ainsi des nouvlles methodes de calculs, mais ce n'est plus des maths (et ni de l'aritmetique en fait). Juste pour dire que je ne pretend pas que ce que g dis est vrai c juste ce que je pense, je ne suis pas calé sur la définition de "mathematiques".

bah non, tu peux très bien changer les axiomes, en supprimer, en ajouter, etc... mais ça reste des maths

3) 1!=2 donc tu demontre facilement qu'il est impossible de demontrer que 1=2 car l'on ne peut demontrer qqch de faux (le raisonnement par l'absurde permet d'y arriver immediatement). Je crois que vous vous embourbez l'esprit dans des consderation un peu hasardeuse.

je t'en prie, fais la démonstration rigoureusement

1+1=10

je l'ai appris à l'école !

Gödel fut, tout au long de sa vie, un homme timide et en retrait. Approchant la mort, il se sentit de plus en plus concerné par sa santé, se convainquant de l'existence d'un complot visant à l'empoisonner. Il cessa alors de s'alimenter, tombant progressivement dans la cachexie. Il décéda le 14 janvier 1978, à Princeton, état du New Jersey, États-Unis.

un peu pres vince lol!

4) ah ok, ben en fait « les mathématiques » c'est plus vaste que tu ne crois dans ce cas ^^. On peut toujours définir d'autres mathématiques en changeant les axiomes (bon des fois c'est pas intéressant mais des fois ça l'est). On peut aussi voir dans quelle mesure on peut modifier les axiomes sans que ça modifie la théorie qui s'appuie dessus : l'arithmétique existait bien avant Peano et avant même la notion d'axiome je pense, donc elle ne s'appuie sur les axiomes que dans la mesure où on a cherché quels axiomes permettaient d'obtenir l'arithmétique classique, je ne sais pas si c'est clair. Il est donc possible de changer d'axiomes et que ces axiomes continuent cependant à générer l'arithmétique (ie l'arithmétique sera définie différemment mais elle aura les mêmes propriétés). Par contre on est d'accord que si les axiomes choisis impliquent que 1 = 2 on est mal barré

3) Non... dans un système d'axiomes cohérent, il est impossible de démontrer quelque chose de faux. Le problème est qu'on ne peut pas prouver que l'axiomatique de Peano est un système cohérent. Tu vois le problème ? on a défini un certain nombre d'axiomes, on a réussi à en déduire toute l'arithmétique, cool, mais on n'a pas exhaustivement écrit toutes les propositions qu'il est possible de déduire de ce système d'axiomes. Donc si ça se trouve, et bien qu'on ne pense pas que ce soit le cas, on a fait une erreur dans la définition des axiomes, erreur qui conduit à la possibilité de démontrer 1 = 2. Et ce que dit ta démonstration par l'absurde c'est « si on peut démontrer 1 = 2, alors le système d'axiomes est incohérent ». Ce que disait Pollux, c'est que si ça s'avère vrai, ie si le système est réellement incohérent, alors ce système permet de démontrer strictement n'importe quoi (puisque tout ce qui est vrai est aussi faux, et réciproquement ). Et on espère que ce n'est pas le cas mais on ne peut pas prouver la cohérence.

Sinon oui ce qui est vrai dans N l'est aussi dans R, mais je voulais dire qu'on n'a pas besoin d'avoir défini R pour parler de 1 et de 2, et que les axiomes de Peano s'appliquent seulement à la définition de N : définir R est *beaucoup* plus compliqué.

1) euh j'étais pas sérieux hein . En fait c'est juste que tu dis « faut arrêter le délire » à propos d'un sujet dont on n'est plus vraiment en train de parler, ça fait bizarre ^^


edit : nonuple cross

./64. 3) c'est plus clair présenté ainsi ^^

un changement d'axiome connu, c'est les géométries non-euclidiennes, non ?

Edit : en fait il ne s'agit pas d'un axiome mais d'un postulat, mais bon (par contre je m'étais trompé d'axiome)

Oui, quand tu prends la théorie d'Euclide et que tu enlèves le postulat comme quoi par un point extérieur à une droite passe une unique parallèle à cette droite, tu obtiens encore un système cohérent et dans lequel on peut démontrer des résultats.
Mais depuis cette époque toutes ces géométries ont été intégrées dans une théorie plus vaste et ne sont plus vraiment définies par des axiomes (on étudie juste des espaces qui vérifient un certain nombre de propriétés, mais ce sont des définitions, pas des axiomes).

En fait dans la géométrie d'Euclide les notions de « point » et de « droite » sont élémentaires, il me semble (c'est pourquoi il y a des axiomes qui les concernent). Dans la géométrie moderne elles sont définies en d'autres termes : un point est un élément d'un ensemble, et si cet ensemble est muni d'une structure d'espace métrique, les droites sont les géodésiques de cet espace. Par exemple « le plan euclidien » c'est |R², les points du plan sont donc des couples de réels, etc.
Et pour obtenir une géométrie non euclidienne il suffit de choisir un espace avec une métrique qui mène aux axiomes de la géométrie correspondante

jibax
: >56, merci pour l'info, tu parle beaucoup de rajout d'axiome, mais ces axiome sont t ils en contradiction avec ceux existant?

Ben à chaque fois qu'on considère un nouvel axiome, c'est LA grande question qu'on se pose, et ce n'est pas facile d'y répondre.

* Pour l'axiome du choix : on sait qu'il est indépendant de la théorie des ensembles ZF.
C'est à dire que ZF+ l'axiome du choix est cohérente.
Et que ZF + le contraire de l'axiome du choix est cohérente aussi.
C'est à dire qu'on peut fonder deux mathématiques différentes, contradictoires entre elles, mais ayant chacune sa cohérence, selon qu'on accepte cet axiome ou son contraire (voire même ni cet axiome, ni son contraire). (*)

* L'hypothèse du continu, certaines hypothèses sur les grands cardinaux : c'est pareil.

* L'analyse non standard IST : C'est une extension conservative de ZF. C'est à dire que tout théorème démontré dans IST et qui s'exprime dans le langage de ZF, est démontrable dans ZF. (les axiomes non standard n'ajoutent rien, sinon de la puissance de démonstration)

Parceque la c'est pas rajouter un axiome, c'est dire que cet axiome est faux (je sais pas si on peu vraiment parler de vrai /faux en parlant d'axiome).

Les notions de vrai et de faux n'ont pas beaucoup de sens dans ce domaine, on ne sait pas trop ce que ça veut dire.
Ce qui a un sens, c'est la notion de *démonstration* : une proposition est démontrable ou non démontrable à partir des axiomes.
(On finit par dire que quelque chose de démontrable est "vrai", et quelque chose dont le contraire est démontrable est "faux", mais je pense que c'est surtout par commodité de langage)

* Si on ne peut pas démontrer une proposition, ni son contraire, on dit qu'elle est indécidable.

* Si il existe des proposition indécidables, on dit que le système d'axiomes est incomplet.

* Si on peut démontrer à la fois une proposition et son contraire, on dit que le système d'axiomes est incohérent (ou inconsistant).


La priorité pour les maths, c'est d'avoir un système d'axiomes qui soit consistant : on ne veut pas de contradiction.
Le bonus qu'on voudrait avoir, c'est la complétude : quelque soit la proposition qu'on se donne, on veut pouvoir la démontrer ou la rejeter.

Ce que montre Gödel, c'est qu'on ne peut pas tout avoir.
1) On ne peut pas montrer que le système d'axiomes "classique" est consistant.
2) Même s'il était consistant (ce qu'on espère), il serait incomplet, et il n'y a pas moyen de rajouter des axiomes pour qu'il soit à la fois consistant et complet.

>>- utiliser une autre théorie des ensembles, avec des axiomes différents (par exemple NBG - von neuman, gödel, bernays)

La théorie NGB introduit deux sortes d'objets : les ensembles, et les classes (contrairement à ZF qui ne parle que d'ensembles).
Tant qu'on ne parle que d'ensembles, NGB c'est pratiquement la même chose que ZF. Mais l'avantage de NGB, c'est par exemple de pouvoir parler de "la classe de tous les ensembles" (alors que dans ZF, on ne eut pas parler de "l'ensemble de tous les ensembles").





(*) Je dis "ZF + l'axiome du choix est cohérent" pour simplifier. Il faut comprendre plutôt : "Si ZF est cohérente, alors ZF + l'axiome du choix aussi"

vince :
qu'est il advenu de ces personnes ? suicidées ?

Un prof de logique nous avait un jour dit une conjecture : "tous les grands logiciens finissent fous"



[n-uple cross]

>63

Sally :
l'arithmétique existait bien avant Peano et avant même la notion d'axiome je pense,

Ca je suis pas sure meme, meme si la notion d'axiome etait pas ecrite come elle 'est aujourd'hui , ils devaient etre present sous une autre forme(genre il devait dire que ct la loi de la nature ou un truc du style)

3)merci pour leclaircissement, j'avais pas pensé au fait que "vLe problème est qu'on ne peut pas prouver que l'axiomatique de Peano est un système cohérent." c'est interessant et dans ce cas c'est vrai que on peut pas demontrer le machin.

Flanker :
je t'en prie, fais la démonstration rigoureusement

t'aura beau me prier trois jour, je le ferais pas j'ai pas de temps a perdre, surtout qu'apperrement je n'y arriverais pas ( cf> le post de sally qui m'a eclairé)

Et puis bons, je suis un peu fatigé et faut que j'arrete de perdre mon temps avec ce troll/debat meme s'il est effectivment treees interessant.


Pour l'histoire des mathematiques, c'est vrai que je viens de voir une definition et c tres tres tres général (bien plus que ce que je ne pensais). Limite tout systeme utilisant un raisonnement peut s'apparenter à des maths lol

jibax :
Limite tout systeme utilisant un raisonnement peut s'apparenter à des maths lol

Je pense que la logique pure devient des maths à partir du moment où on rajoute au système un symbole d'appartenance "∈" et les axiomes qui vont avec.

Donc les maths c'est juste l'étude d'une relation binaire, c'est pas grand chose.

il n'y a pas de maths dans des systèmes traitant de plus de deux éléments à la fois ? Je trouve bizarre qu'il n'y ait pas eu un farfelu pour établir un système d'implications où, systématiquement, on ne peut traiter/évaluer deux éléments sans agir sur un troisième (voire plus) ?

Hippopotame
:

jibax
: >56, merci pour l'info, tu parle beaucoup de rajout d'axiome, mais ces axiome sont t ils en contradiction avec ceux existant?

Ben à chaque fois qu'on considère un nouvel axiome, c'est LA grande question qu'on se pose, et ce n'est pas facile d'y répondre.

Un exemple que j'aime tout particulièrement est qu'on t'apprenne ce que sont les nombres négatifs, les règles qui les régissent, puis y appliquer des carrés, tout ça pour arriver au lycée où l'on t'apprend finalement qu'il existe des nombres qui sont négatifs au carré

Ah, la logique pure n'est pas des maths pour toi ?

pour moi?

69>

En fait il y a des tas et des tas de farfelus qui ont inventé des tas et des tas de logiques farfelues.

Mais, "en un certain sens", il n'y a pas beaucoup de logiques qui sont intéressantes, et ce sont essentiellement les logiques qu'on connait. C'est à dire qu'en déséquilibrant les axiomes, on se retrouve souvent avec un système pauvre ou qui n'a pas beaucoup de sens. Enfin, c'est ce qu'un ami qui fait de la logique m'avait expliqué, je ne saurais pas expliciter beaucoup plus...

Sally :
Ah, la logique pure n'est pas des maths pour toi ?

Ben je suppose qu'on peut inclure l'un dans l'autre, c'est une question de convention.
En fait oui, finalement, je ressens ça comme des maths, mais des maths tellement spéciales que.... Ce n'est qu'à moitié des maths

S'il faut faire un classement, j'aurais plutôt tendance à mettre maths, logiques et informatique théorique dans un paquet "sciences formelles", à côté des "sciences expérimentales" (physiques, bio, etc), et des "sciences humaines". (Je ne comprends pas trop que les mathématiques soient considérées comme de même nature que la physique.)

Ben la logique, une fois formalisée avec un ensemble de symboles se rapproche quand même énormément des mathématiques, et on peut même mélanger les deux symboliques dans un grand nombre de cas (même s'il peut parfois, à cause des formalismes employés, y avoir des ambiguïtés).

c'est aussi ce que je pense. Avec une definition trop large on en arrive à considerer que n'import quelle sciences (philo, medecine, physique) pourrait etre inclu dans le grand domine des maths. Pour moi ce n'est pas vraiment ca. Mais ca reste un avis personnel, il faudrait unspecialiste de la linguistique du mot Mathematique, ce qui n'est pas facile a trouver vu que tout le monde s'en fout, et que ce qui ne s'en foutent pas ont bien tord!

merde ca marche pas...

Nil :
Ben la logique, une fois formalisée avec un ensemble de symboles se rapproche quand même énormément des mathématiques, et on peut même mélanger les deux symboliques dans un grand nombre de cas (même s'il peut parfois, à cause des formalismes employés, y avoir des ambiguïtés).

Ben la différence entre les deux, c'est le symbole d'appartenance.
Les axiomes mathématiques, c'est les axiomes logiques + le signe "appartient" et ses axiomes. Donc les maths sont une extension de la logique, ou la logique est une sous théorie des maths. Enfin c'est comme ça que je vois les choses.

./80 > prémisses

Martial Demolins
: c'est marrant, je ne dirais pas que la logique soit une science en soit, mais juste un type de procédure permettant de tirer une conclusion à partir de prémices.

La physique, les maths, la sociologie, sont aussi des procédures permettant de tirer des conclusions à partir de prémisses

Pour en revenir au sujet initial, j'attire votre attention sur les travaux de Gray et l'algèbre du même nom.

0 0000
1 0001
2 0011
3 0010
4 0110
5 0111
6 0101
7 0100

binaire réfléchi pour d'autres... on a 1+1=11 alors que 1+1=10 en algèbre de boole.

Le principe de base étant que seul un digit doit changer d'une valeur à la valeur suivante.

On a donc une méthode comptage différente (donc à fortiori des axiomes qui ne marchent plus) d'ailleurs extrèmement utile dans la résolution de problèmes par tableaux de Carnaugh

ici 2 en algèbre de gray va donner 3 en algèbre de boole, la conversion de la sorte peut être considérée comme une erreur mais elle met en évidence que si un symbole dans une autre approche a une autre signification alors on ne peut affirmer pour autant que ce "monde" n'a pas de sens, il en a un qui tout simplement ne sera pas identique au précédent...

le comptage de Gray est pas mal utile car on passe d'un entier à son successeur en changeant un seul bit : comme ça, si on interroge un capteur qui compte en gray, sa valeur est toujours juste même pendant un changement de valeur, alors qu'en binaire, si on lit pendant le passage de 0111 à 1000, on pourrait lire 1111 qui n'a plus rien à voir

Flanker :
le comptage de Gray est pas mal utile car on passe d'un entier à son successeur en changeant un seul bit : comme ça, si on interroge un capteur qui compte en gray, sa valeur est toujours juste même pendant un changement de valeur, alors qu'en binaire, si on lit pendant le passage de 0111 à 1000, on pourrait lire 1111 qui n'a plus rien à voir

en effet, les risques liés aux états intermédiaires étant supprimés, le nombre d'application pratiques est considérable

D'ailleurs en élec pratique (capteurs optique ou simple compteurs), j'ai toujours vu du Gray.

non, certains compteurstravaillent avec un bit de validité si il vaut FALSE, les données lues ne peuvent être considérées comme valides. D'autres fonctionnent en série et n'ont pas besoin de gérer ce cas de figure...

Mais avec Gray, ya plusieurs "nombres suivants" non ? (cf les Karnaugh qui marchent moins bien au bout d'un certain nombre de variables)