Comme vous pouvez le voir la phrase "il n'existe aucun multiple de 9 s'écrivant sous la forme n*n-n-1, n entier positif" n'est pas justifié, je suis cependant persuadé qu'elle est vraie, au moins pour 99999>n>0 et certainement pour n'importe quels nombres.
Bon, alors sans filet je vous propose l'explication suivante:
n s'écrit forcément n=9p+g ou 8>g>=0
donc n*n=9k+g*g
donc N= n*n-n-1= 9x + g*g - g - 1
d'ou:
N divisible par 9 <=> g*g - g - 1 est divisible par 9
Si g=8 nous avons alors g*g - g - 1 = 55 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=7 nous avons alors g*g - g - 1 = 41 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=6 nous avons alors g*g - g - 1 = 29 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=5 nous avons alors g*g - g - 1 = 19 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=4 nous avons alors g*g - g - 1 = 11 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=3 nous avons alors g*g - g - 1 = 5 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=2 nous avons alors g*g - g - 1 = 1 donc N n'est pas divisible par 9
Par ailleurs on ne modifie pas le critère de divisibilité par neuf de n en ajoutant 9, donc:
N divisible par 9 <=> g*g - g + 8 divisible par 9
Si g=1 nous avons alors g*g - g + 8 = 8 donc N n'est pas divisible par 9
Si g=0 nous avons alors g*g - g + 8 = 8 donc N n'est pas divisible par 9
Conclusion:
N n'est jamais divisible par 9, il y a contradiction avec les hypothèses de départ, et donc le nombre proposé par l'énoncé n'existe pas.
chris.
PS: tiré d'une idée originale de denpher