mové en math :| - Page 3

Moué.
Et comment tu veux généraliser l'affaire?

Créer une super-structure G englobant l'image F (F sera trivialement un sous-groupe de G, par contre au niveau topologique on ne peut rien dire) du morphisme phi, telle qu'il existe phi_barre bijective de E dans G, et telle qu'il y ait une projection pi de G sur F vérifiant 'pi rond phi_barre = phi'.

Donc ça n'a rien d'un "miracle" ou d'une construction bizarre de parler de RU(C*), puisque c'est un résultat général qui découle du simple fait que exp est un morphisme de groupes. En revanche, la structure topologique est effectivement nouvelle, comme on pouvait le prévoir. Mais on n'a rien de plus qui serait spécifique aux propriétés de l'exponentielle ou du logarithme.

J ai beau avoir fait des maths dans prepa ou equivalent, j ai jamais compris "autant" de choses!

donc RU(C*) est une sorte de produit par exp(2iPiZ)

Euh, comme l'a déjà dit HIPPO, c'est plutôt l'autre qui est un quotient

En fait, une variété est toujours (heu, y a peut-être des hypothèses que j'oublie, mais je crois pas... enfin disons qu'elle est connexe par arcs et qu'elle a un revêtement universel, ça doit suffire) homéomorphe au quotient de son revêtement universel par son groupe fondamental.
Et d'ailleurs, tous les revêtements de la variété sont des quotients de son revêtement universel par des sous-groupes de son groupe fondamental (si je ne m'abuse)

Je rappelle au cas où la définition du groupe fondamental ? (personne ne l'a fait)
Sur une variété V connexe par arcs, x un point de V, on considère les lacets en x, c'est à dire les applications continues f de [0,1] dans V et telles que f(0) = f(1) = x.
On munit cet ensemble d'une loi de composition qui consiste à suivre un lacet puis l'autre et d'une relation d'équivalence appelée homotopie définie par :
f est homotope à g s'il existe F : [0,1]² -> V continue telle que pour tout y F(y,0) = f (y) et F(y, 1) = g (y). (C'est une déformation continue quoi).
Cette relation d'équivalence est compatible avec la loi qu'on a définie, et quand on quotiente on obtient un groupe. Le groupe obtenu ne dépend pas de x (car V est connexe par arcs).
V est dite simplement connexe si son groupe fondamental est nul.

Euh, comme l'a déjà dit HIPPO, c'est plutôt l'autre qui est un quotient

Oui, je me disais aussi que c'était plus "correct" comme ça (d'où le "une sorte de", et la parenthèse qui suivait).

En fait, une variété est toujours (heu, y a peut-être des hypothèses que j'oublie, mais je crois pas... enfin disons qu'elle est connexe par arcs et qu'elle a un revêtement universel, ça doit suffire) homéomorphe au quotient de son revêtement universel par son groupe fondamental.

Puissant... Mais c'est quoi, une variété?

Un espace topologique localement homéomorphe à |Rⁿ
enfin, ça c'est une variété topologique... on définit aussi une variété différentielle de classe Ccequ'onveut en mettant Ccequ'onveut-difféomorphisme à la place de homéomorphisme.

OK.

D'ailleurs on définit aussi des revêtements différentiables de classe Cn (en remplaçant surjection continue par de classe Cn et homéomorphisme par Cn-difféomorphisme) et les propriétés sont à l'avenant il me semble (la variété est difféomorphe au quotient de son RU par son pi1)... mais bon je suis plus très sûr (je crois que ça marche pour Cinfini, mais les autres... :\)

HIPPOPOTAME
:

Parce que si P est un ensemble "bizarre",

P ne peut pas vraiment être un ensemble bizarre : l'ensemble des pôles d'une fonction holomorphe est discret et sans point d'accumulation, si je ne m'abuse.

Tu ne t'abuses pas.

Dans C* x Z, si tu te ballades sur la surface, tu restes toujours sur le même feuillet. Alors que dans RU(C*), si tu te ballades sur la surface et que tu tournes autour de 0, tu changes de feuillet.

Il n'a jamais dit qu'il prenait la topologie produit. Tu as une bijection entre les 2 ensembles, il ne te reste qu'à appliquer ta bijection à ta topologie pour avoir une topologie T sur C*×Z telle que (C*×Z,T) et RU(C*) soient homéomorphes.
La même chose est valable pour les propriétés algébriques: il suffit de définir une somme et un produit appropriés.

Et en effet:

Pollux :
Je ne parle pas de F x Ker phi avec sa structure usuelle, je parle simplement de l'_ensemble_ F x Ker phi sur lequel on transporte bêtement la topologie et la structure (de C sur RU(C*)) ? Donc ça marche bien et sur le plan topologique et sur le plan algébrique (en fait, le fait que ça soit un morphisme intervient principalement pour pouvoir définir le "produit" de manière consistante, i.e. les classes d'équivalences sont le même ensemble translaté, donc ça n'a rien d'une définition "algébrique").

Voilà.

Manoloben
: mais lol! Les gars vous venez d ou, de mars!

Non, de l'ENS. (Pas moi, mais les 2 autres. )

Pollux
:

où D est un espace discret.

(juste pour être sûr de la définition) c'est un espace où tous les points sont isolés, c'est ça?

Voilà la définition que j'ai apprise en analyse complexe: "Soit N inclus dans M inclus dans (C. N est discret dans M si, pour tout z de M, il existe un voisinage U (par exemple un disque ouvert de centre z) tel que U inter N ait au plus un nombre fini d'éléments."

Il n'a jamais dit qu'il prenait la topologie produit. Tu as une bijection entre les 2 ensembles, il ne te reste qu'à appliquer ta bijection à ta topologie pour avoir une topologie T sur C*×Z telle que (C*×Z,T) et RU(C*) soient homéomorphes.

Certes, mais s'il ne s'agit que d'une bijection ensembliste, on pourrait tout autant partir de R, qui a le même cardinal que C*xZ

Euh...
on dirait que j'ai voulu poster un peu trop vite hier soir, le fait qu'un espace soit ou non une variété n'a rien à voir avec le groupe fondamental, ni avec le fait qu'il soit homéomorphe au quotient de son revêtement universel par son groupe fondamental.
Et ma "définition" du post 65... c'est idiot puisque l'espace n'a pas de structure différentielle avant d'avoir une structure de variété
En fait E est une variété de classe Cp s'il existe un recouvrement ouvert (Oi) de E et pour chaque i un homéomorphisme (appelé carte) d'un ouvert Oméga_i de |Rⁿ dans Oi (n peut a priori dépendre de i, mais en fait ce n'est pas le cas si E est connexe) tel que pour tous i et j, f_j^-1 o f_i soit un Cp-difféomorphisme de Oméga_i inter Oméga_j
La structure différentielle de E est alors définie localement à partir de celle de |Rⁿen passant par les cartes.

Voilà, c'est mieux comme ça (mais si HIPPO peut confirmer... j'ai écrit ça de mémoire et c'est un peu loin :\)

Soit N inclus dans M inclus dans (C. N est discret dans M si, pour tout z de M, il existe un voisinage U (par exemple un disque ouvert de centre z) tel que U inter N ait au plus un nombre fini d'éléments).

C'est un cas particulier... un espace discret est tout siplement un espace dont toute partie est ouverte (pour cela, il suffit que tout singleton soit ouvert). En particulier, un espace métrique dont la distance est définie par d(x,y) = 0 si x = y et 1 sinon est discret.

Certes, mais s'il ne s'agit que d'une bijection ensembliste, on pourrait tout autant partir de R, qui a le même cardinal que C*xZ.

Oui oui, j'ai bien compris, c'est maladroit de ma part. Mais c'est plus "proche" de C*xZ que de R comme le montre la continuité presque partout

En fait E est une variété de classe Cp s'il existe un recouvrement ouvert (Oi) de E et pour chaque i un homéomorphisme (appelé carte) d'un ouvert Omégai de |Rn dans Oi (n peut a priori dépendre de i, mais en fait ce n'est pas le cas si E est connexe) tel que pour tous i et j, fj-1 o fi soit un Cp-difféomorphisme de Omégai inter Omégaj La structure différentielle de E est alors définie localement à partir de celle de |Rnen passant par les cartes.

Tout à fait.
(Il existe aussi une autre définition, plus jolie, à base de faisceaux, mais je ne la mets pas car je ne suis pas sûr de m'en souvenir parfaitement.)

C'est un cas particulier... un espace discret est tout siplement un espace dont toute partie est ouverte (pour cela, il suffit que tout singleton soit ouvert).

Voilà.
La topologie discrète est la topologie la plus fine qui existe, alors que la topologie vague est la moins fine.

Manoloben
: J ai beau avoir fait des maths dans prepa ou equivalent, j ai jamais compris "autant" de choses!

[HS]c'est sans doute pour ça qu'il t'ont viré [/HS]

Euh, en relisant le ./45 j'ai un gros doute... coment tu définis un point isolé, HIPPO ? je croyais que c'était un point qui forme un ouvert à lui tout seul...

Oui, chuis bête, c'est toi qui as raison.