la somme unitaire - Page 1

j'ai un probléme ave cette question
trouvez les valeurs de a,b,c,d, et e qui vérifient la relation: 1/a +1/b +1/c+1/d +1/e =1
en sachant que les a,b,c..... sont des entiers naturels distincts

Ben déjà on peut supposer que a<=b<=c<=d<=e, ce qui va impliquer que 5/a>=1 donc a<=5

Les valeurs possibles de a sont donc 2, 3, 4, 5.

Si a=5 alors a=b=c=d=e=5

Reste à faire les 3 autres cas

5, 5, 5, 5, 5, ce sont des entiers distincts? C'est nouveau...

Ah oui, distincts, exact. Je me disais aussi que ma calculatrice trouvait beaucoup de solutions...

non
il ne faut pas avoir les memes valeurs de a,b,c,d,e

Si a = 4, 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 3/4, donc 1/b >= 3/16, donc b<=5. Donc b = 5, 1/c + 1/d + 1/e = 11/20, donc 1/c >= 11/60 donc c <= 6 donc c = 6. Et 1/d + 1/e = 23/60, d'où 1/d >= 23/120 et d <=5. absurde.
Si a = 3, 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 2/3, donc 1/b >= 2/12 et b <= 6. Si b = 6, 1/c + 1/d + 1/e = 1/2, donc 1/c >= 1/6 et c <= 6 donc c = 6. Absurde. Si b = 5, 1/c + 1/d + 1/e = 7/15, donc 1/c >= 7/45 et c <= 6. Donc c = 6, 1/d + 1/e = 3/10, donc 1/d >= 3/20, donc d <=6 , donc d = 6, absurde. Si b = 4, 1/c + 1/d + 1/e = 5/12, donc 1/c >= 5/36, donc c <= 7. Si c = 7, 1/d + 1/e = 23/72, donc 1/d >= 23/144, donc d <= 6. Absurde. Si c = 6, 1/d + 1/e = 1/4, donc 1/d >= 1/8 et d <= 8. Si d = 8, 1/e = 1/8 et e = 8, absude. Si d = 7, 1/e = 3/28 et e n'est pas entier, absurde. Si c = 5, 1/d + 1/e = 13/60, donc 1/d >= 13/120 donc d <= 9. Si d = 9, 1/e = 19/180 et e n'est pas entier, absurde. Si d = 8, 1/e = 11/120, et e n'est pas entier, absurde. Si d = 7, 1/e = 31/560, et e n'est pas entier, absurde. Si d = 6, 1/e = 1/20 et e = 20. (3, 4, 5, 6, 20) est solution.

J'ai une solution : (3, 4, 5, 6, 20), et c'est la seule avec a != 2. Il reste à traiter le cas a = 2, c'est laissé en exercice au lecteur

Alley hop on y va (j'ai rien à foutre). En fait c'est facile pour a = 2.
Déjà, si a = 2, 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 1/2, donc 1/b >= 1/8 donc b <=8.

Si b = 8, 1/c + 1/d + 1/e = 5/8, donc 1/c >= 5/24, donc c <= 4. Absurde.
Si b = 7, 1/c + 1/d + 1/e = 9/14, donc 1/c >= 3/14, donc c <= 4. Absurde.
Si b = 6, 1/c + 1/d + 1/e = 2/3, donc 1/c >= 2/9, donc c <= 4. Absurde.
Si b = 5, 1/c + 1/d + 1/e = 7/10, donc 1/c >= 7/30, donc c <= 4. Absurde.
Si b = 4, 1/c + 1/d + 1/e = 3/4, donc 1/c >= 1/4, donc c <= 4. Absurde.
Si b = 3, 1/c + 1/d + 1/e = 5/6, donc 1/c >= 5/18, donc c <= 3. Absurde.

La seule solution est donc (3, 4, 5, 6, 20).

Bravo Mouker !

(Avec une calculatrice c'est plus facile)

Oui mais sauf si tu prouves AMS (ou la rom des HP, hein <contretroll>), ce n'est pas une preuve

AMS ? Je m'en fous d'AMS, moi !

HP49 CAS by Parisse,
Heiskanen & Fiechter
4.20010912

(ou la rom des HP, hein <contretroll>)

Il a édité, le fourbe.

Bernard (je crois ?) Parisse powaaa !!

Clairement (c)

Pour voir sa caboche, [ON]&[D] suivi de [S], je crois.

T'as vu j'ai vu le troll venir avant qu'il arrive ...
Je pense que je peux dire Test.

Je ne joue pas à ce genre de puérilités, môa

C'est toujours ce qu'on dit dans ces cas-là

Faudrait déjà que je comprenne les règles, c'est pas gagné, et puis c'est un comportement vaguement social, je peux pas trop

man man

Bon je me suis relu et j'ai tout faux pour a = 2.

mouarf le nul !

(Comme disait un de mes profs de maths, " C'est pas X qui est nul ! ")

Ça me rappelle la blague:

On a: hfuighouwghoqbljneouqbnpoqerbouqejhoieujfjvoonqoebnoe
Nous en déduisons que:
vouihqweonvqnbopeqobneobnpobernbeonbmoiposjmdvnornqehpovokiroijhvvnipougnipovbatvbtitvhjonbohnoidh0fvjipjmüdnb ehrouhrbeuohnurnv hue uighureghcuqhuphfhbrqeu pfhouehwvnujahjh jkdshgkjh ehgughwgquj thgpouhug hpqgrhupqg huqg uhpg u ndjskjgnkjnb kjhnfkjdns kjghkj gdjkg h hkhf sdhkg hkjgakh hizgbiz ggwigh wizagw iz ioz gwhzgzgwezgao z ozg a zgweig awooiawg
Donc x=0.

Et l'élève répond: QUOI? On a fait tout ce travail pour rien?

Les lettres tapées au hasard, ce sont des raisonnements mathématiques que l'élève ne comprend pas.

huhu, expliquée elle est encore moins drole !

Jetez moi la première pierre si vous aviez lu mon post et vu l'erreur

On se la refait :
Déjà, si a = 2, 1/b + 1/c + 1/d + 1/e = 1/2, donc 1/b >= 1/8 donc b <=8.

Si b = 8, 1/c + 1/d + 1/e = 3/8, donc 1/c >= 3/24, donc c <= 8. Absurde.
Si b = 7, 1/c + 1/d + 1/e = 5/14, donc 1/c >= 5/42, donc c <= 8.
  Si c = 8, 1/d + 1/e = 13/56, donc 1/d >= 13/112, donc d <= 8. Absurde.
Si b = 6, 1/c + 1/d + 1/e = 1/3, donc 1/c >= 1/9, donc c <= 9.
  Si c = 9, 1/d + 1/e = 2/9, donc 1/d >= 1/9, donc d <= 9. Absurde.
  Si c = 8, 1/d + 1/e = 5/24 donc 1/d >= 5/48, donc d <= 9.
    Si d = 9, 1/e = 7/72, donc e = 72/7 et n'est pas entier. Absurde.
  Si c = 7, 1/d + 1/e = 4/21, donc 1/d >= 2/21, donc d <= 10.
    Si d = 10, 1/e = 19/210, donc e = 210/19 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 9, 1/e = 5/63, donc e = 63/5 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 8, 1/e = 11/168, donc e = 168/11 et n'est pas entier. Absurde.
Si b = 5, 1/c + 1/d + 1/e = 3/10, donc 1/c >= 1/10, donc c <= 10.
  Si c = 10, 1/d + 1/e = 2/10, donc 1/d >= 1/10, donc d <= 10. Absurde.
  Si c = 9, 1/d + 1/e = 17/90, donc 1/d >= 17/180, donc d <= 10.
    Si d = 10, 1/e = 4/45, donc e = 45/4 et n'est pas entier. Absurde.
  Si c = 8, 1/d + 1/e = 7/40, donc 1/d >= 7/80, donc d <= 11.
    Si d = 11, 1/e = 37/440, donc e = 440/37 et n'est pas entier. Absurde. 
    Si d = 10, 1/e = 3/40 donc e = 40/3 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 9, 1/e = 23/360 donc e = 360/23 et n'est pas entier. Absurde
  Si c = 7, 1/d + 1/e = 11/70, donc 1/d >= 11/140 et d <= 12.
    Si d = 12, 1/e = 31/420, donc e = 420/31 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 11, 1/e = 51/770, donc e = 770/51 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 10, 1/e = 2/35, donc e = 35/2 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 9, 1/e = 29/630, donc e = 630/29 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 8, 1/e = 9/280, donc e = 280/9 et n'est pas entier. Absurde.
  Si c = 6, 1/d + 1/e = 2/15, donc 1/d >= 1/15 et d <= 15.
    Si d = 15, 1/e = 1/15, donc e = 15. Absurde.
    Si d = 14, 1/e = 13/210 donc e = 210/13 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 13, 1/e = 11/195 donc e = 195/11 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 12, 1/e = 1/20 donc e = 20 et (2, 5, 6, 12, 20) est solution.
    Si d = 11, 1/e = 7/165 donc e = 165/7 et n'est pas entier. Absurde.
    Si d = 10, 1/e = 1/30 donc e = 30 et (2, 5, 6, 10, 30) est solution.
    Si d = 9, 1/e = 1/45 donc e = 45 et (2, 5, 6, 9, 45) est solution.
    Si d = 8, 1/e = 1/120 donc e = 120 et (2, 5, 6, 8, 120) est solution.
    Si d = 7, 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 106/105 > 1. Absurde.

Quatre nouvelles solutions : (2, 5, 6, 12, 20), (2, 5, 6, 10, 30), (2, 5, 6, 9, 45), et (2, 5, 6, 8, 120). Il ne reste plus que les cas a = 2 et (b = 3 ou b = 4) à faire, mais je le ferai plus tard. C'est chiant, c'est exponentiel

Mais non, c'est borné

Flanker :
Jetez moi la première pierre si vous aviez lu mon post et vu l'erreur

Honnêtement j'avais pas fait gaffe à ton 2è post mais qd j'avais lu ton premier post je m'étais dit que le cas a=2 était bien plus difficile que le cas a=3 parce que les arguments analytiques (minoration de 1/a+...+1/e par 1/a+...+1/(a+4) - d'ailleurs tu ne majores que par 5/a, c'est dommage ça te fait des vérifications inutiles) marchent beaucoup moins bien...

Hippopotamu :
Mais non, c'est borné

Ah ?
Trouver les suites à valeurs dans N u {+∞} telles que u[n]-n soit croissante et que sum(1/u[n]) soit égale à 1...
(on pourra dans un premier temps s'intéresser aux suites stationnaires )