Prenons la suite U(n+2) = U(n+1) + U(n).
Alors, presque sûrement (c'est à dire, sauf pour des conditions initiales très particulières), la suite U(n) croît comme une exponentielle de base le nombre d'or, ( 1 + V(5) ) / 2 = 1.618...
C'est à dire que |U(n)| ^ (1/n) tend vers 1.618...
On a une propriété similaire pour une suite de Fibonacci généralisée :
Si on pose U(n+2) = U(n+1) + b.U(n) où b est un nombre réel
Alors, presque sûrement, U(n) croît exponentiellement, et |U(n)| ^ (1/n) tend vers une limite V(b).
Ce V(b) peut être calculé facilement, il faut regarder l'équation caractéristique t² = t+b et prendre sa racine de plus grande valeur absolue.
On peut tracer la fonction V pour 0<b<1.2 :
Ça n'est point surprenant ni très intéressant.
Prenons maintenant une suite de Fibonacci aléatoire, c'est à dire :
U(n+2) = U(n+1) ± U(n)
À chaque itération, on tire au sort : un signe "+" avec une probabilité de 1/2, ou un signe "-" avec une probabilité de 1/2.
Si on regarde numériquement ce que ça donne, d'abord on va se rendre compte que le signe de U(n) change très souvent. Normal. Mais surtout, U(n), en valeur absolue, continue à croître exponentiellement.
On peut démontrer ce résultat qui n'a rien d'évident : il existe une constante C telle que |U(n)| ^ (1/n) tend vers C avec une probabilité de 1.
C est la constante de Viswanath. Numériquement, elle vaut 1.13198824..., donc un peu moins que le nombre d'or (c'est logique).
Mais à part ça, on ne sait rien de C.
On ne sait pas s'il y a une formule, si elle est reliée à d'autres constantes mathématiques...
Ensuite on peut regarder les suites de Fibonacci aléatoires généralisées :
U(n+2) = U(n+1) ± b.U(n) où b est un nombre réel.
On peut constater à nouveau que, sauf cas très particulier, la croissance (ou décroissance) de U(n) est exponentielle.
On a le résultat : pour presque tout b, il existe un V(b) tel que |U(n)| ^ (1/n) tend vers V(b) avec une probabilité de 1.
On ne sait rien de la fonction V. Tout ce qu'on peut faire, c'est de la tracer en calculant des valeurs numériques avec un bon ordinateur bien bourrin.
Elle ressemble à ça :
Et si on zoome, à ça :
Bref, une fractale étrange venue de l'espace.
