Pour préciser l'histoire des solutions "irréelles" (complexes): Si b²-4ac<0, on peut écrire:
______ _____________ __ ______
-b ± /b²-4ac -b ± /(-1) (4ac-b²) -b ± /-1 /4ac-b²
------------- = -------------------- = ------------------
2 a 2 a 2 a
avec 4ac-b²>0.
Cette racine carrée de (-1) (qui n'est clairement pas un nombre réel) est notée
i, et appelée "unité imaginaire". (Les professeurs français n'aiment pas trop la notation "racine carrée de (-1)" d'ailleurs, ils préfèrent pour la plupart la tournure "on définit le nombre
i tel que
i²=-1".) Les nombres de forme
bi (b réel) sont appelés "nombres imaginaires (purs)" et les nombres de forme
a+bi (a, b réels) sont appelés "nombres complexes" (ou parfois aussi "nombres imaginaires", d'où l'ajout du qualificatif "pur" pour le cas a=0).
On peut donc écrire la solution pour b²-4ac<0 comme suit:
______ ______
-b ± /b²-4ac -b ± i /4ac-b²
------------- = ---------------
2 a 2 a
La notation à gauche prend une racine carrée d'un nombre négatif, donc n'est pas très appréciée en France (comme pour la "racine carrée de (-1)"), mais elle a l'avantage de permettre l'utilisation de la
même formule quelle que soit la valeur de b²-4ac.