Nombres Premiers - Page 1

Montrez qu'il n'existe pas de polynome de degré 2 à coefficient entier relatifs tel que P(n) soit un nombre premier pour tout n € N.
Si qqun pouvait m'aider j'ai beau essayer je bloque tjr à un moment ou a un autre (j'en déduit que ce n'est pas comme sa qu'il fallait faire). Si qqun pouvais me donner qq indications...

bah ton polynôme c'est P(0) + Q*X et P(0) est entier, on peut même supposer qu'il est premier sinon c'est fini. Et Q est de degré 1
donc P(P(0)) = (1 + Q(P(0)))*P(0), si on suppose encore que c'est premier c'est que Q(P(0)) = 0
donc Q = a * (X - P(0))
bon P(0) = b pour pas alourdir la notation
donc P = b - abX + aX²
bon je te laisse finir...

P(P(0)) = (1 + Q(P(0)))*P(0), si on suppose encore que c'est premier c'est que Q(P(0)) = 0

Ou alors Q(P(0)) = -2

Un nombre premier est en particulier positif (et donc si p1|p2 avec p1 et p2 premiers, p1=p2)

Un nombre premier est en particulier positif

P(P(0)) est donc en particulier positif, et de même pour P(0), donc 1+Q(P(0)) est nécessairement positif

Mais pourquoi donc un nombre premier serait positif?

Mais c'est vrai ça, on pourrait peut-être étendre l'indicatrice d'Euler à des entiers relatifs

Soit A un anneau commutatif, a un élément de A.
a est premier dans A <=> A/aA intègre <=> aA idéal premier de A <=> (Pour tous x, y, a|xy => a|x ou a|y)

Sauf qu'on définit en général les nombres premiers comme étant le représentant positif de la classe d'équivalence que tu viens de décrire. Sinon ça fout la merde avec les pgcd (plus unique, seulement modulo la relation d'équivalence), la fonction indicatrice d'Euler (définition != selon le signe), etc... On a un sous-ensemble de Z parfaitement canonique et stable par tout plein de trucs qui définit un représentant de la classe d'équivalence, alors autant l'utiliser.

Bon, cela dit c vrai que le résultat subsiste avec N nombre premier sur Z, puisque le polynôme change de signe au plus deux fois, donc asymptotiquement, le signe est constant (et on peut donc le supposer positif).

le représentant positif de la classe d'équivalence que tu viens de décrire.

Je n'ai pas décrit de classe d'équivalence...

Sinon ça fout la merde avec les pgcd

Dont la définition n'a rien à voir avec les nombres premiers...
Dans un anneau principal, le Pgcd n'est effectivement qu'à multiplication par un élément de A* près. Dans Z ou k[X] on définit un Pgcd normalisé en prenant l'unique pgcd dans N, ou dans l'ensemble des polynômes unitaire U {0}.

la fonction indicatrice d'Euler

Sa définition ne fait pas non plus intervenir les nombres premiers...

On a un sous-ensemble de Z parfaitement canonique et stable par tout plein de trucs qui définit un représentant de la classe d'équivalence, alors autant l'utiliser.

Bon, cela dit c vrai que le résultat subsiste avec N nombre premier sur Z, puisque le polynôme change de signe au plus deux fois, donc asymptotiquement, le signe est constant (et on peut donc le supposer positif).

Suffit de considérer le polynôme décalé P'(X) = P(X-alpha), tel que P'(0)=0, ou bien de remplacer P(0) par P(k), k grand, dans la démonstration

HippopoDrame
:

le représentant positif de la classe d'équivalence que tu viens de décrire.

Je n'ai pas décrit de classe d'équivalence...

Sinon ça fout la merde avec les pgcd

Dont la définition n'a rien à voir avec les nombres premiers... Dans un anneau principal, le Pgcd n'est effectivement qu'à multiplication par un élément de A* près. Dans Z ou k[X] on définit un Pgcd normalisé en prenant l'unique pgcd dans N, ou dans l'ensemble des polynômes unitaire U {0}.

Je parle de la classe d'équivalence trivialement induite par (a R a') <=> (aA = a'A) que tes propos amènent naturellement à considérer (i.e. on considère les classes de l'ensemble quotient A/A*), d'abord parce que tu ne définis la propriété "a premier" que relativement à l'idéal aA et jamais par rapport à a en particulier, et ensuite parce que :

a est premier dans A <=> dans A/A*, card(diviseurs(a))=2

la fonction indicatrice d'Euler

Sa définition ne fait pas non plus intervenir les nombres premiers...

Bon, c'est sûr que c'est spécifique à N et pas à un anneau intègre qq. Mais elle permet de définir les nbs premiers aussi, sur N. Et on ne peut pas la généraliser de manière utile à Z, sauf en rajoutant des valeurs absolues partout (ce qui n'a vraiment aucun intérêt).

On a un sous-ensemble de Z parfaitement canonique et stable par tout plein de trucs qui définit un représentant de la classe d'équivalence, alors autant l'utiliser.

Je parlais de N
Bah oui, N a plein de propriétés de stabilité (qu'on ne retrouve pas dans K[X]/U, notamment au niveau additivité), qui font que la définition de premier sur N est souvent restreinte aux nombres positifs.

Bon, cela dit c vrai que le résultat subsiste avec N nombre premier sur Z, puisque le polynôme change de signe au plus deux fois, donc asymptotiquement, le signe est constant (et on peut donc le supposer positif).

Suffit de considérer le polynôme décalé P'(X) = P(X-alpha), tel que P'(0)=0

Oui mais le signe peut encore changer une fois, là

ou bien de remplacer P(0) par P(k), k grand, dans la démonstration

Oui, c'est ce que j'avais en tête.

tu ne définis la propriété "a premier" que relativement à l'idéal aA et jamais par rapport à a en particulier,

Au contraire, j'ai justement donné une définition par rapport aux éléments de l'anneau (qq soient x, y, a|xy => a|x ou y)

la définition de premier sur N est souvent restreinte aux nombres positifs.

Les nombres premiers sur N sont en effet vaguement positifs...

Enfin toujours est il que -2 est un nombre premier

Selon mon cours de maths, HippopoDrame a raison
-2 est effectivement premier, à l'image de tout élément premier multiplié par un élément inversible.

Hum bon je sors

Au contraire, j'ai justement donné une définition par rapport aux éléments de l'anneau (qq soient x, y, a|xy => a|x ou y)

a|b n'est pas une propriété des éléments a et b, mais uniquement des idéaux associés ((a|b) <=> (bA c aA)). Donc je maintiens ce que je dis.

Les nombres premiers sur N sont en effet vaguement positifs...

Voilà, on est d'accord La vraie question, c'est de savoir si l'énoncé est : "P(n) est un nombre premier dans l'anneau intègre Z" ou "P(n) est un nombre premier dans N". Et "nombre premier" sans autre précision veut généralement dire "entier naturel premier" et pas "entier relatif premier" -- ce n'est pas comme si on parlait d' "élément premier d'un anneau intègre". Il faut aussi avouer que le "n € N" n'arrange pas les choses niveau ambiguïté

Enfin toujours est il que -2 est un nombre premier

Je ne dirais pas ça comme ça. Entier relatif premier, oui. Nombre premier, non.

* Un nombre premier sur |N est forcément positif.
* Un nombre premier sur Z peut être négatif.
* En général, si rien n'est précisé, "nombre premier" == "nombre premier sur |N".
* Cela dit, son exercice fait référence aux entiers relatifs, ce qui introduit une ambiguïté.

Je pense que l'exercice fait référence aux nombres premiers sur |N et pas sur Z, mais je pourrais me tromper.

Pollux
:

Les nombres premiers sur N sont en effet vaguement positifs...

Voilà, on est d'accord La vraie question, c'est de savoir si l'énoncé est : "P(n) est un nombre premier dans l'anneau intègre Z" ou "P(n) est un nombre premier dans N". Et "nombre premier" sans autre précision veut généralement dire "entier naturel premier" et pas "entier relatif premier" -- ce n'est pas comme si on parlait d' "élément premier d'un anneau intègre". Il faut aussi avouer que le "n € N" n'arrange pas les choses niveau ambiguïté

En effet.
(Les messages étaient croisés.)

Kevin est entièrement d'accord avec moi, et en plus il a délibérément choisi de compiler un prog qui nécessite une lib dynamique alors qu'il y a une version statique de la lib! (sur PC, pas sur calc, hein ) Mais que se passe-t-il?

a|b n'est pas une propriété des éléments a et b

a|b <=> il existe x tq b=xa

Je ne dirais pas ça comme ça. Entier relatif premier, oui. Nombre premier, non.

Si tu veux.
C'est de la tétracapillotomie, mais bon...

HippoPotage
:

a|b n'est pas une propriété des éléments a et b

a|b <=> il existe x tq b=xa

Oui, mais ça me paraît plus naturel de l'exprimer en termes d'idéaux :

il existe x tq b=xa
<=> b € aA
<=> bA c aA (définition d'un idéal)

Si une propriété est totalement orthogonale à un paramètre, entre deux formulations, l'une présentant une dépendance face à ce paramètre et l'autre non, j'aurais tendance à prendre la deuxième, si elles sont de complexité équivalentes et disent grosso modo la même chose (ce qui est le cas ici).

Je ne dirais pas ça comme ça. Entier relatif premier, oui. Nombre premier, non.

Si tu veux.
C'est de la tétracapillotomie, mais bon...

Mouarf. C'est qui le tétracapillosécateur qui a écrit :

HippoPotage
:

Un nombre premier est en particulier positif

? Je ne fais que clarifier les choses et dire ce qui fait que je crois qu'un nombre premier est un entier naturel premier.

Et puis d'abord c'est çui qui dit qui yé, na

Pollux :
Kevin est entièrement d'accord avec moi, et en plus il a délibérément choisi de compiler un prog qui nécessite une lib dynamique alors qu'il y a une version statique de la lib! (sur PC, pas sur calc, hein ) Mais que se passe-t-il?

Il se passe que la version statique de glibc est faite n'importe comment (normal, elle n'existe que parce que les outils la créent automatiquement, les auteurs n'en ont rien à f**tre). Mais c'est hors-sujet ici, donc merci d'en parler dans le bon sujet.

Pollux
: Entier relatif premier, oui. Nombre premier, non.

Un entier relatif est-il un nombre ?

Pi est un nombre, alors ça nous avance pas bcp

(et i aussi : les "nombres complexes")

Ben si un entier relatif est un nombre, alors un entier relatif premier est un nombre premier, nan ? :]

Absolument, on peut même aller encore plus loin : un réel est un nombre, donc un réel premier est un nombre premier, nan? :]
(oui, |R comme tout bon corps qui se respecte est un anneau intègre, dans lequel Pi est premier par exemple; en fait, tout réel non nul est premier, par exemple 6 )

[EDIT : et |R est même un anneau intègre principal]

Euh là par contre je ne suis plus d'accord. Un élément premier n'est pas inversible. Or dans |R il n'y a que 0 (non premier) qui n'est pas inversible... Enfin, sauf si tu ne parles pas de (|R,+,.), on sait jamais

Euh oui quel boulet j'ai fait aveuglément confiance à la (fausse) définition d'HippoPotage : sa dernière équivalence est fausse si a est inversible.

Oui, donc pardon : 3 n'est pas premier (et même, aucun nombre n'est premier)

J'ai un polynomes P(x)=ax²+bx+c (x€N et a,b et c €Z et a différent de 0 logiquement sinon on aurait plus un polynome du second degrès)
P(0)=c on en déduit que c doit etre premier
P(c)= (ac+b)c+c
Or c peut s'avérer etre négatif (d'après mon cour du moins un nombre premier peut etre négatif), et x€ N. je ne peut donc pas écrire P(c). On à donc un cas lorsque c >0 P(c)=(ac+b)c+c d'ou ac =-b ou ac=-2-b ?
P(x)= ax²-acx+c ou ax²-acx-2x+c
??
Lorsque c<0 on a P(-c)=(ac-b)c+c ...

Suis je sur la bonne voie ? Comment peut t'on faire pour montrer que p n'ets alors pas premier (à l'origine je pensais calculer P(-ac) ou P(ac) afin de pouvoir factoriser par c et d'avoir qqch du genre c( a^3c+a²c+1) et en déduire que a devait alors etre égal à 0 mais il pourrai tout aussi etre égal à -1 ou 1 si c<0 en fait ce qui ets génant c'est que a,b et c sont des entiers relatifs...
Bref je m'embrouille...

Si tu acceptes les entiers relatifs premiers, regarde ./10 et ./11 pour te ramener aux entiers naturels premiers, ça te simplifiera certainement la tâche...