Suite et logarythme... - Page 1

Dans la première partie je démontre que x-x²/2 £ ln (1+x) £ x
Le « problème» survient dans la deuxième partie :
On a une suite u = (1+1/n²)(1+2/n²)…(1+(n-1)/n²)(1+n/n²)
Et v = Ln u
Je dois trouver un encadrement de v (à l’aide de ce que j’ai démontrer en première parti)
Et on sait que (1²+2²+3²+…+n²S k²=n(n+1)(2n+1)/6
Puis après en déduire que la suite et convergente (je suppose grâce a théorème des gendarmes etc.…)
Je présume que je doit développer u et obtenir qqch de la forme 1+X… Mais j’ai peine a voir comment…

Ben v=Somme(ln(1+k/n^2),k=1..n), donc à partir de là tu peux encadrer simplement ton truc, non?

Tu devrais trouver un truc du style : 0 £ (1/2 - 1/(2n)) - v £ O(1/n)

=> CQFD (et d'ailleurs, tu n'as même pas besoin du calcul exact de Somme(k^2), un encadrement simple via l'intégrale suffit à montrer que Somme(k^2)=O(n^3))

(on n'a pas encore fait les intégrales )

x-x²/2 <= ln (1+x) <= x

donc

k/n²-k²/2n^4 <= ln (1+k/n²) <= k/n²

en faisant la somme de k=1 à n :

(1+2+...+n)/n² - (1²+2²+3²+...+n²)/2n^4 <= v <= (1+2+...+n)/n²

donc

n(n+1)/2n² - n(n+1)(2n+1)/12n^4 <= v <= n(n+1)/2n²

donc

(n+1)/2n - (n+1)(2n+1)/12n^3 <= v <= (n+1)/2n


avec le théorème des gendarmes : v tend vers 1/2

Tss tss fallait pas détailler comme ça...

Lol j'aime ton avatar hippo
j'avais juste oublié de simplifier sa (1+2+...+n)/n²
merci comme meme

Sans vouloir abuser puis je vous demander si je ne me suis pas trop planter dans l'exo suivant:

I.Etude de la fonction : Fn(x)= (1+nlnx)/x²

1.Ensemble de définition Df= R+*
Fn est une fonction continue dérivable sur R+* etc…

2.Calcul de la dérivée :
F’n(x)= (n-2nlnx-2)/x³
Signe de la dérivé sur ]0 ;1] elle est positive
Sur ]e^(n-2)/2n ;+infinie[ elle est négative
Lim en 0+ de Fn (x)= - l’infinie (#doute#)
Lim en +l’infinie = 0

II. Représentation graphique

Tracer C3 et C2
2) calculer Fn+1_Fn= -lnx /x²
que remarque t’on ?
3) en déduire le tracer de de C4 a partir des courde C3 et C2

>>> Fn est une fonction continue dérivable sur R+* etc…

oué

>>> F’n(x)= (n-2nlnx-2)/x3

oué

>>>Signe de la dérivé sur ]0 ;1] elle est positive
Sur ]e(n-2)/2n ;+infinie[ elle est négative

positive sur ] 0 ; exp (n-2)/2n [
négative sur ] exp (n-2)/2n ; +infini[

>>>Lim en 0+ de Fn (x)= - l’infinie (#doute#)
Lim en +l’infinie = 0

oué

>>>2) calculer Fn+1_Fn= -lnx /x²
que remarque t’on ?

Chais pô... Que la différence tend vers 0 en +oo, donc que les courbes sont asymptotes en +oo ?
Que c'est toujours négatif, donc que l'une est au dessus de l'autre?
Que ça ne dépend pas de n?

merci
c rassurant de savoir que j'avais a peu près juste j'vais réfléchir au psite que tu m'a donné pour la dernière question

salut j'ai un probleme délicat (pour moi en tout cas). ça concerne les suites. donc soit une suite (Un) telle que Un= (n-sin(n))/(n+sin(n)) (n>ou=2). on sait que lim (n+1)/(n-1)=1. faut que je prouve que ((n-1)/(n+1)) <ou= Un <ou= ((n+1)/(n-1)) pour n>ou=2. on m'a précisé qu'il fallait que je parte de l'expression -1 <ou= sin(n) <ou= +1 mais pour moi c'est pas gagné pour autant. je sais pas ce que vous en pensez mais moi j'y arrive pas...... je remercie d'avance n'importe qui pouvant m'élairer...

-1 <= sin(n) <= +1
donc
n-1 <= n+sin(n) <= n+1
Comme n-1>0,
1/(n+1) <= 1/(n+sin(n)) <= 1/(n-1)

-1 <= -sin(n) <= +1
donc
n-1 <= n-sin(n) <= n+1

En multipliant,
(n-1)/(n+1) <= (n-sin(n))/(n+sin(n)) <= (n+1)/(n-1)