Mangez des saucisses - Page 2

Hmm, voyons, l'ensemble des normes est en bijection avec l'ensemble des convexes fermés d'intérieur non vide symétriques par rapport à l'origine, non?

et l'anisotropie dans tout ça

En plus ya pas de probabilité sympa sur aleph 0

./31 > tu essayes de représenter une norme par sa boule unité ? il faut aussi que l'origine soit à l'intérieur dans ce cas, sinon je ne vois pas comment tu fais

hmm si c'est convexe, non vide et symétrique par rapport à l'origine, alors l'origine est dans le convexe.

Sally> Ben c'est ce qu'il dit par "intérieur non vide" (si y a une sphère unitaire centrée en x, il y a aussi une sphère unitaire en -x, donc une sphère unitaire centrée en 0)

Moi ça m'a l'air bon (enfin évidemment ça définit l'ensemble des normes compatibles avec la topologie, pas l'ensemble de toutes les normes ^^)

EDIT : cross :

Hippopotame (./35) :
hmm si c'est convexe, non vide et symétrique par rapport à l'origine, alors l'origine est dans le convexe.

oui enfin il faut pas seulement que 0 appartienne, il faut qu'il soit à l'intérieur (sinon on peut avoir une pseudonorme)

Euh et ah oui il faut que ça soit un compact, pas un fermé quelconque ^^

Pollux (./36) :
Moi ça m'a l'air bon (enfin évidemment ça définit l'ensemble des normes compatibles avec la topologie, pas l'ensemble de toutes les normes ^^)

Toute cette problématique est dans le mot "fermé". Mais bon là on est en dimension finie.

Mais bon dans le cas général on doit bien pouvoir définir une notion de *convexe* fermé sans passer par la topologie.

Pollux (./37) :
Euh et ah oui il faut que ça soit un compact, pas un fermé quelconque ^^

Pourquoi?

A ton avis, quelle serait la norme sur R^2 associée à [-1,1] x R ?

Hippopotame (./38) :

Pollux (./36) :
Moi ça m'a l'air bon (enfin évidemment ça définit l'ensemble des normes compatibles avec la topologie, pas l'ensemble de toutes les normes ^^)

Toute cette problématique est dans le mot "fermé". Mais bon là on est en dimension finie.

Ben j'ai bien précisé "évidemment" ^^ (mais il n'y a pas que "fermé" qui fait intervenir la toplogie, il y a aussi "intérieur non vide")

Ah oui.
Mais dans le cas général, plutôt que compact, c'est "borné dans toutes les directions", c'est à dire que pour tout x!=0 il existe k tel que kx \not\in C.
Et mon "intérieur non vide" aussi est faux, il faut plutôt x il existe k!=0 tel que kx \in C.

Voilà, toute la topologie a été éjectée.

Si tu prends R^N, et pour convexe C=[-1,1]^N (non compact), la fonction f définie par f(x)=inf{ lambda, x/lambda \in C} est bien une norme.

Finalement, le cardinal de l'ensemble des normes sur un espace de dimension finie, ça fait Aleph 1.

gni ? c'est 2^(2^aleph 0), hein... (prends R^2, l'ensemble des fonctions C^infini convexes de [-1,1] dans R+ nulles ssi |x|=1 se plonge dans les normes et est bien de ce cardinal-là)

Pour que la boule unité soit un dodécaèdre de Poincaré dans R³, on pourrait prendre quoi comme formule pour une telle norme?

(ptet ça marche pas, j'en sais rien)

Bon, c'est pas aleph1 si l'hypothèse du continue est fausse, mais en tout cas c'est 2^aleph0

Choisir un convexe machin chose bidule c'est équivalent à quelques trifouillages près à choisir une fonction continue convexe.

Or le cardinal des fonctions continues de I dans R est égal au cardinal de R

(toute fonction continue sur I est limite d'une suite de polynômes)

Norme k de x=(x₁,x₂,...,x_n) (x₁^k+x₂^k+...+x_n^k)^1/k
Ah voui exact, rien n'oblige k a être entier, oups ...

Pollux (./30) :
|R n'a un cardinal aleph 1 que si tu acceptes l'hypothèse du continu Tu aurais dû dire 2^aleph 0

Il me semblait pourtant que la définition d'aleph 1 était justement 2^{aleph 0}, hypothèse du continu acceptée ou non.
Mais bon, j'ai toujours eu des problèmes avec les définitions, dans ce domaine que je maîtrise pau.

Nan nan Aleph_1 c'est le plus petit cardinal strictement supérieur à Aleph_0

(la suite des Aleph_x, c'est la suite strictement croissante de *tous* les cardinaux)


Et il y a donc aussi des normes qui ne sont pas des "norme k", même pour k non entier.

Hippo> argl oui je m'étais planté de sens, le cardinal des fonctions de N -> R c'est bien (2^aleph0)^aleph0 (= 2^aleph0), pas aleph0^(2^(aleph0)) (= 2^2^aleph0) ^^

Hippopotame (./47) :
Nan nan Aleph_1 c'est le plus petit cardinal strictement supérieur à Aleph_0
(la suite des Aleph_x, c'est la suite strictement croissante de *tous* les cardinaux)

Ah OK.
Donc si on accepte l'hypothèse du continu, on a « aleph₁ = 2^aleph₀ », et si on la refuse, on a « aleph₁ < 2^aleph₀ », c'est bien ça ?

Hippopotame (./47) :
Et il y a donc aussi des normes qui ne sont pas des "norme k", même pour k non entier.

Exemples ?

Ouais mais attention, c'est pas si évident d'associer à une fonction C^oo sur R une suite de réels (c'est pas toujours développable en série entière ces machins). Mieux vaut dire directement que les fonctions continues ont le cardinal de R.

(cross)

Ethaniel (./49) :
Ah OK.
Donc si on accepte l'hypothèse du continu, on a « aleph₁ = 2^aleph₀ », et si on la refuse, on a « aleph₁ < 2^aleph₀ », c'est bien ça ?

Oui c'est ça
(Tiens, si je me souviens bien, on peut prendre comme axiome que 2^aleph_0 est égal à ce qu'on veut tant que ça dépasse pas Aleph_omega - à vérifier quand même)

Exemples ?

Tu peux prendre une norme qui a pour boule unité un octogone (ou tout polygone qui te plait).
En fait tu peux choisir la boule unité que tu veux, du moment que c'est convexe, borné, d'intérieur non vide, fermé et symétrique par rapport à 0

Par exemple une quenelle unité.

Hippopotame (./50) :
Ouais mais attention, c'est pas si évident d'associer à une fonction C^oo sur R une suite de réels (c'est pas toujours développable en série entière ces machins).

Euh sans même parler de développement en série entière, si c'est la limite de (Pn) avec deg Pn = n-1 on peut toujours encoder 1 coeff de P1 + 2 coeff de P2 + 3 coeff de P3 + ..., et ça représente bien la fonction par une suite de coeffs réels (pas de façon unique mais osef)

BookeldOr (./52) :
Par exemple une quenelle unité.

une quenelle symétrique par rapport à un point ?

Ben ouais, une révolution de forme oblongue
edit : ça mais en pas affalée

52> Bon d'accord mais autant parler des fonctions continues alors
(D'ailleurs d'où_cc vient ton C^oo?)


Sinon ouais, une quenelle est symétrique par rapport à un point, non?

Hippopotame (./51) :

Exemples ?

Tu peux prendre une norme qui a pour boule unité un octogone (ou tout polygone qui te plait).En fait tu peux choisir la boule unité que tu veux, du moment que c'est convexe, borné, d'intérieur non vide, fermé et symétrique par rapport à 0

J'imagine à peine les calculs pourris correspondants ...

Et donc, confirmes-tu bien mon ./11 ?
J'y disais qu'un carré est isotrope si et seulement si on est en norme 1 avec le centre du repère au centre du carré et les axes parallèles aux diagonales du carré (bah ouais, ce carré que d'aucuns appellent « losange » juste à cause de son orientation, c'est la boule (pas forcément unité) de la norme 1) ou si on est en norme infinie avec le centre du repère au centre du carré et les axes parallèles aux arêtes du carré (boule pas forcément unité, encore et toujours).

Hippopotame (./56) :
52> Bon d'accord mais autant parler des fonctions continues alors
(D'ailleurs d'où_cc vient ton C^oo?)

de ce que j'avais pas envie de chercher si vraiment continue suffisait

56> Les deux normes que tu donnes, en fait, c'est la *même* norme (à multiplication près par un scalaire toussa)

Bon mais il me faudrait une définition précise d'"isotrope" pour répondre.

Dire que les normes sont équivalentes, OK, mais dire qu'elles sont identiques, je ne suis pas *du tout* convaincu.

Quant à l'isotropie, c'est quand toutes les directions sont équivalentes.
Si tu prends la norme 1 et un carré centré orienté « comme un losange » (assertion mathématiquement sans valeur, mais c'est juste pour que ceux qui ne connaissent pas la boule unité de la norme 1 aient une image en tête), alors tous les points de la frontière du carré sont équidistants du centre, donc on met strictement le même temps (à vitesse constante) pour atteindre n'importe quel point du bord de l'Univers (qui, je le rappelle, est carré), mais uniquement si on part du centre.
Or comme on n'est pas au centre de l'Univers (enfin moi, si, mais les autres, non), on ne met pas toujours le même temps pour atteindre 2 points quelconques du bord de l'Univers, donc toutes les directions ne sont pas équivalentes, donc l'Univers est anisotrope, C.Q.F.D.