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Nil > Il n'a pas de masse mais il a quand même une énergie et une quantité de mouvement. La conservation de ladite quantité de mouvement fait qu'il suit la courbure de l'univers (pour voir ça autrement, bien qu'il n'ait pas de masse il a quand même une inertie et est affecté par la gravité)

Calcul de la vitesse de la lumière : d*t = c

Kochise

Sally (./61) :
bien qu'il n'ait pas de masse il a quand même une inertie

Ouais, en fait, c'est ça qui me pose problème, mais il faudrait que je me replonge juste dans mes équations de cinétique...

en fait son énergie et sa quantité de mouvement sont proportionnelles à sa fréquence (au lieu d'être proportionnelles à sa masse comme c'est le cas pour un solide)

Pavé
Quelques gif de quelques Mo


Les discussions de tantôt sur la mécanique quantique m'ont donné envie de voir un peu plus précisément de quoi il s'agit et comment marchent les équations ; du coup j'ai rédigé un petit bazar pour voir si j'avais compris.

Mon but était de réussir à calculer d'un bout à l'autre l'évolution d'un système quantique très simple.



Or donc on va considérer un objet quantique.

On suppose que c'est un objet sans qualité, c'est à dire qu'à part la position et la masse, il n'a rien de particulier (pas de charge électrique ou truc du genre).
On va supposer que cet objet est enfermé dans une boîte. Et pour simplifier, on va supposer qu'on est dans un univers à 1 dimension (ça marche essentiellement pareil en 3 dimensions, seulement les dessins et les calculs sont carrément plus durs à faire).

Donc la boîte, ça va être le segment [0,1].




I) Qu'est ce que c'est qu'un objet quantique ?


En mécanique classique, l'objet aurait une certaine position 0 < x < 1, et puis voilà.

Exemple : x=0.65




En mécanique quantique, l'objet n'a pas de position bien définie, il a partout dans la boîte une certaine présence. Cette présence est mesurée, en chaque point de la boîte, par un certain nombre complexe Z=X+iY.
Plus le module de ce nombre complexe est grand, plus la particule est "présente" en ce point ; plus |Z| est petit, plus elle est absente.

Plus précisément, la densité de présence est proportionnelle à |Z|² = X²+Y², le carré du module.



Ce Z qui dépend de la position x s'appelle la fonction d'onde, elle est notée ψ(x).




Voilà un exemple :

J'ai fabriqué (un peu au pif) l'état d'une particule, que j'ai représenté par des graphiques de fonctions.


D'abord, la partie réelle X (en vert) et imaginaire Y (en rouge), en fonction de la position :



À partir de là, on peut calculer la densité de présence |ψ(x)|² = X²+Y² :




(La fonction est normalisée pour que l'aire en bleu vaille 1).




Quand on fait une mesure, la probabilité de trouver la particule à un endroit est proportionnelle est la hauteur de la courbe à cet endroit. Par exemple, la probabilité de voir la particule entre 0.4 et 0.6 est proportionnelle à l'aire suivante :



En faisant le calcul, on trouve 0.458918..... (c'est l'intégrale de |ψ|² entre 0.4 et 0.6)

Autrement dit, on a à peu près 46% de chance de voir la particule entre 0.4 et 0.6. On voit qu'on n'a quasiment aucune chance de la voir près de 0.3, pas mal de chance près de 0.7, etc...




Donc récapitulons :

Une particule, c'est une fonction d'onde ψ(x).

ψ est une fonction qui va de [0,1] (la boîte) ou R (l'espace) dans l'ensemble des nombres complexes.

Elle est continue (et donc, pour une boîte, on a forcément ψ(0)=0 et ψ(1)=0).

L'intégrale de |ψ|² vaut 1.










II) Comment ça évolue ?

La densité de présence que j'ai donnée n'est valable qu'à un instant t.
Comme n'importe quel autre objet physique, tout ça va évoluer au fil du temps, selon des lois qu'on a su expliciter.

Tout calcul fait, la densité de présence |ψ|² tracée plus haut va évoluer de la façon suivante (j'expliquerai après comment on a fait le calcul) :




La fonction d'onde elle même, ψ, évolue comme ça (la partie réelle est toujours en vert et la partie imaginaire en rouge) :





J'ai aussi fait un gif avec une échelle temporelle 5 fois plus fine, pour bien voir les détails de l'évolution (le petites vagounettes bougent vite, les grandes vagues bougent doucement) :










III) L'énergie

C'est l'équation de Schrödinger qui gouverne l'évolution de la fonction d'onde, c'est à dire qui permet de calculer ψ(x,t) en fonction de la condition initiale ψ(x,0).

La forme de cette équation est assez simple, c'est grosso modo "Énergie = constante", et donc "La dérivée de l'énergie est nulle".


Reste à savoir ce qu'est l'énergie de notre particule ! Schrödinger est parti de la même expression de l'énergie qu'en mécanique classique :




- Dans mon exemple je suppose qu'il n'y a pas d'énergie potentielle, donc on va juste remplacer ça par 0.
Mais s'il y avait dans l'espace un champ gravitationnel, un champ électrique ou quelque chose comme ça, il faudrait en tenir compte.
Dans ce cas on aurait un potentiel V(x) dépendant de la position, et pour avoir le potentiel de la particule, il suffirait d'additionner pour chaque point x de l'espace le produit du potentiel V(x) et de la densité de présence de la particule, autrement dit calculer l'intégrale de V(x)ψ(x).


- Pour l'énergie cinétique, c'est plus délicat. En principe, elle vaut 1/2 mv² où v est la vitesse de la particule (ou encore p² / 2m où p est l'impulsion, en mécanique quantique on préfère cette forme).

Le problème c'est que la vitesse est la dérivée de la position, or on n'a pas de position précise à dériver !

La solution est la suivante. On va commencer par décomposer la fonction ψ(x) en série de Fourier (c'est à dire en une somme de sinusoïdes, avec des coefficients complexes)

Dans l'exemple,

= (-0.79 -0.42i)*
+ (-0.45 +0.33i)*
+ (0.56 +0.26i)*
+ (-0.23 -0.04i)*
+ ... (moultes autres composantes)


Comme l'équation de Schrödinger est linéaire, il suffit de calculer l'évolution de chaque composante, puis de refaire la combinaison linéaire des solutions.


Chaque composante étant une sinusoïde avec une longueur d'onde bien définie, on peut appliquer la relation de de Broglie :

λ = h / p

où
λ est la longueur d'onde,
h = 6,626*10^-34 J.s est la constante de Planck,
p est l'impulsion.

C'est une généralisation d'une égalité déjà vérifiée dans le cas de la lumière (du photon). Le brave de Broglie a eu le prix Nobel pour cette idée.




Alors par exemple, la composante a une longueur d'onde λ = 2/3 (crête à crête), donc une impulsion p = h/λ = 3h/2 et une énergie E = p²/2m = 9h²/8m.(attention aux unités, mon λ était une longueur)


De façon générale, la composante sin(k Pi x) aura une énergie égale à k²E1, où E1=h²/8m.




Maintenant, quelques remarques :

- Ma particule de départ n'a pas d'énergie bien définie. Il ne faut surtout pas croire qu'elle aurait une "énergie moyenne" qui serait la somme coefficientée des énergies de ses différentes composantes. Ça ne marche pas comme ça. Il faut dire plutôt qu'elle est une superposition (ou combinaison linéaire) d'états d'énergies différentes.


- On voit que l'énergie d'une particule enfermée dans une boîte est quantifiée. Elle peut valoir E1, 4 E1, 9 E1, 16 E1, 25 E1... mais pas 3 E1 ou 0,5 E1.


- La particule est dans l'état d'énergie minimal (ou état fondamental, ou état non excité), quand sa fonction d'onde ψ(x) a pour module sin(Pi x). Sa densité de présence ressemble alors à

Contrairement à ce qui se passe en mécanique classique, l'énergie de l'objet n'est pas nulle même dans cet état d'énergie minimale.


- Quand la particule est dans un état d'énergie pure, la fonction d'onde garde un module | sin(k Pi x) | constant au fil du temps : la densité de présence ne varie pas. Par contre, la phase varie.
Dans un état d'énergie pure, la fonction d'onde est donc du type ψ(x,t) = sin(k Pi x) e^(i f(t))





IV) Évolution des états d'énergie purs.

L'équation de Schrödinger (sous l'une de ses formes) s'écrit



où
V(x) est le potentiel, donc ici 0,
ħ = h/2Pi est la constante de Planck réduite.

Il suffit de remplacer ψ par sin(k Pi x) e^(i f(t)), malgré l'allure barbare de l'équation, le calcul est facile et on va trouver que f'(t) = -i E1 k² / h


On aura donc ψ(x,t) = sin(k Pi x) e^(i Constante k²) pour l'état d'énergie k²E1.



Voilà par exemple l'état k=1 (en vert et rouge les parties réelles et imaginaires de ψ, en bleu la densité de présence) :



Et l'état k=3 (en vert et rouge les parties réelles et imaginaires de ψ, en bleu la densité de présence) :



La vitesse d'évolution de la phase dépend du carré de k.




Quant à ma particule de départ, j'ai décomposé la fonction d'onde initiale en combinaison linéaire d'états purs, j'ai calculé l'évolution de chacun de ces états, j'ai recombiné tout ça et j'ai donc trouvé ce que j'avais mis plus haut :







V) Un peu plus loin.



Et si la particule n'était pas enfermée dans une boîte ?

La différence, c'est que l'énergie ne serait pas quantifiée. Tous les sin(truc*x) sont autorisés.




Et en trois dimensions ?

Voici par exemple les états d'énergie purs pour une particule enfermée dans un cube, ou dans une pyramide :


La densité de présence est indiquée par les couleurs.




Et avec une énergie potentielle ?

Par exemple, prenons l'atome d'hydrogène. Au centre, il y a un proton très lourd, donc quasi immobile. Il a une charge électrique qui génère un potentiel V(r) proportionnel à 1/r, où r est la distance au proton.

On peut calculer la fonction d'onde de l'électron de cette façon. C'est un calcul un peu lourd à faire, mais qui grosso modo a valu le prix Nobel à Schrödinger.

Les états d'énergie purs s'appellent les orbitales de l'atome, il y en a une liste quantifiée, assez compliquée mais pas trop non plus. On peut représenter la liste des orbitales, ça fait des trucs comme ça :




Un atome a une liste d'électrons, chacun d'entre eux est dans un état qui est l'une de ces orbitales, c'est ainsi que commence la chimie...

Je ne suis pas d'accord sur la position de l'objet dans ton premier dessin

la suite la suite la suite

C'est très joli (mais tu aurais pu représenter psi(x) par une unique courbe dans l'espace . Qui serait une somme de sinusoïdes planes mais qui sont non seulement d'amplitudes différentes mais dans des plans différents... En fait ce qui se passe c'est que chacune de ces sinusoïdes tourne autour de l'axe sans changer de forme par ailleurs, c'est bien ça ? à une fréquence proportionnelle au carré de son nombre de ventres.)

Et donc, comment on fait pour écrouler le paquet d'onde (si c'est bien la terminologie) et forcer la particule à se concentrer en un seul endroit ? c'est bien quelque chose qu'on peut faire ? ce qui est bizarre c'est que j'avais cru comprendre qu'en interagissant trop avec la particule on cassait la superposition d'états et la particule se retrouvait dans un état pur, mais là la forcer à se concentrer spatialement revient à faire exactement le contraire...

Sally (./68) :
(mais tu aurais pu représenter psi(x) par une unique courbe dans l'espace . Qui serait une somme de sinusoïdes planes mais qui sont non seulement d'amplitudes différentes mais dans des plans différents... En fait ce qui se passe c'est que chacune de ces sinusoïdes tourne autour de l'axe sans changer de forme par ailleurs, c'est bien ça ? à une fréquence proportionnelle au carré de son nombre de ventres.)

Ah bonne idée, je viens de faire le tracé...

La position sur le premier axe, parties réelles et imaginaires de psi sur les deux autres axes.


L'état fondamental :



L'état n°2 :



Et puis ma particule de départ (avec un temps plus lent) :

(vous comprenez encore quelque chose ou vous faites semblant ? )

Bah, c'est plutôt simple

La courbe du bas tourne à des vitesses différentes suivant ses composantes fréquentielles et celles du haut te montrent des exemples de vitesses de rotation des composantes suivant leur fréquence.

VI) La mesure.


En pratique, on ne voit jamais vraiment la fonction d'onde, parce que dès qu'on observe la particule, on va modifier complètement ψ.

Il faut se représenter la particule dans sa boîte comme de l'eau dans une bassine, avec des vagues à la surface. Mesurer, c'est comme plonger le doigt dans l'eau : on va effectivement se rendre compte du niveau d'eau là où on a mis le doigt, mais on va démolir tout le système de vagues.



Plus précisément, quand on interagit avec le système pour le mesurer, la fonction d'onde ψ, ce paquet de vagues compliquées, va se réduire à un seul pic très haut et très fin.

Comme ça :


C'est ça qu'on appelle la réduction du paquet d'ondes.


L'endroit où se forme le pic est aléatoire, par exemple ça pourrait plutôt être là :



Bon en réalité ça n'est aléatoire qu'en apparence, c'est surtout chaotique et trop compliqué pour être prédit. Par contre le pic aura tendance à se former là où ψ a un module élevé.

Il est très improbable que le paquet d'ondes se réduise comme ça :


parce qu'autour de 0.29, le module de ψ est presque nul.


Du coup, quand on mesurera la position de la particule, on la verra bien ponctuelle, en un seul x.
x=0.55 dans le premier exemple, x=0.95 dans le second, x=0.29 dans le troisième.

Et la probabilité de voir la particule en un certain point est donc bien proportionnelle à la valeur de |ψ|² à cet endroit.



Une fois qu'on a fini de mesurer, donc d'interagir, ben la fonction d'onde va petit à petit se réétaler...

Sally (./69) :
ce qui est bizarre c'est que j'avais cru comprendre qu'en interagissant trop avec la particule on cassait la superposition d'états et la particule se retrouvait dans un état pur, mais là la forcer à se concentrer spatialement revient à faire exactement le contraire...

Donc ouais on casse l'état de départ, mais on n'aboutit pas du tout à un état d'énergie pur, au contraire on aboutit à une superposition d'énergies très élevées (c'est logique, si on touche la particule, on va l'exciter...).

Par contre on aboutit à un état de position pur.


Réciproquement, si on mesurait l'énergie, le système se projetterait aléatoirement sur un état d'énergie pur (avec une probabilité proportionnelle à la norme du coefficient de Fourier correspondant...), l'un de ceux que j'ai représentés plus haut. Par contre ça ne serait pas du tout un état de position pur (puisque ça serait une sinusoïde étalée dans toute la boîte).

Tout ça illustre que dans l'espace des états possibles de la particule ( L²([0,1]), qui est un espace de Hilbert), il y a deux bases orthogonales naturelles : celle des états d'énergie purs (c'est à dire les vecteurs propres de l'opérateur "énergie", qui sont les sinusoïdes) et celle des positions pures (les vecteurs propres de l'opérateur "position", qui sont les Dirac).

L'impossibilité de tomber à la fois sur un état pur d'énergie et de position est équivalent au fait que ces deux bases ne coïncident pas, et qu'elles sont même assez éloignées, d'une manière précisée par le principe d'incertitude de Heisenberg (qui est en réalité un théorème mathématique).

./70 > Merci (cross, ./73 > merci aussi ^^)

Hippo, tu veux pas devenir prof de mécanique quantique ? Tu expliques beaucoup mieux que ceux que j'avais...

Folco (./71) :
(vous comprenez encore quelque chose ou vous faites semblant ? )

J'ai quand même du mal, t'inquiète

Hippopotame (./73) :
Tout ça illustre que dans l'espace des états possibles de la particule ( L²([0,1]), qui est un espace de Hilbert), il y a deux bases orthogonales naturelles : celle des états d'énergie purs (c'est à dire les vecteurs propres de l'opérateur "énergie", qui sont les sinusoïdes) et celle des positions pures (les vecteurs propres de l'opérateur "position", qui sont les Dirac).

Et donc c'est ça la fameuse « dualité onde-particule », si je comprends bien ? si tu projettes ton objet sur la base des états d'énergie, il devient une onde, et si tu le projettes sur la base des positions, il devient une particule ? et donc, suivant la façon dont tu interagis avec lui, il peut se comporter alternativement comme l'un et comme l'autre...

rant : à propos, ça serait quand même vachement mieux si les machins élémentaires s'appelaient des ondes et pas des particules, à défaut d'avoit un troisième nom. Ça n'a pratiquement rien à voir avec ce qu'on appelle classiquement une particule (« onde » a le mérite d'être plus vaste), et en plus on est souvent amené à utiliser dans un même discours ces deux notions de particules, ce qui l'embrouille inutilement. Certes dans certaines circonstances on peut voir les machins en question comme des particules, mais est-ce qu'on appelle les planètes des masses ponctuelles sous prétexte qu'en mécanique céleste on peut souvent faire comme si c'étaient des masses ponctuelles ?

VII Espace des phases, bases orthogonale et observables



Maintenant, un petit peu plus sur les quantités observables : je vais développer la fin de ./73.
Il y aura un peu de maths (algèbre linéaire).


Or donc on a vu que l'espace des phases ( = ensemble des états du système = ensemble des fonctions d'onde possibles) est l'espace L²([0,1]).

C'est à dire l'ensemble des fonctions ψ : [0,1] -> C, qui vérifient ψ(0)=ψ(1)=0, qui sont continues et telles que |ψ|² est intégrable..

Remarquons que c'est un espace de Hilbert.
C'est à dire que c'est un espace muni d'un produit scalaire (complexe... ce qu'on appelle un produit hermitien), pour lequel L²([0,1]) est un espace complet (mais peu importe ce genre de détail).

Le produit scalaire de phi et ψ est noté <phi|ψ> (c'est la notation bra-ket de Dirac) et est donné par la formule (chère à tous les taupins de France) :




Le cas de l'énergie

On a vu qu'il y a des états d'énergie purs, indexés par les entiers k non nuls, donnés par .

On peut vérifier que pour n et m deux entiers distincts, c'est un exercice de calcul intégral très classique. Ça signifie que les états ψk sont orthogonaux.

De plus, toute fonction ψ de L²([0,1]) s'écrit => c'est la décomposition de Fourier.


En résumé :

Les états d'énergie purs ψk forment une base orthogonale de L²([0,1]).
À chaque vecteur de cette base correspond une énergie - ici k²E1.




Le cas de la position

Les états de position purs sont les Dirac , pour chaque point x de ]0,1[.

Il est clair que deux Dirac et ont un produit scalaire nul si x et y sont différents. De plus toute fonction d'onde psi s'écrit comme somme de Diracs coefficientés (voir quand même plus bas).

Les positions pures forment donc une base orthogonale de L²([0,1]), et à chaque position pure correspond une mesure x de la position de la particule.




Le cas général

Bien entendu tout cela se généralise.

À chaque fois qu'on a une quantité observable, il y a une base orthogonale de L²([0,1]) correspondante, et à chaque vecteur de cette base est associé une mesure possible de cet observable.


Au moment où on fait la mesure, la fonction d'onde est projetée sur l'un des états purs , de façon non prédictible mais une probabilité proportionnelle à . La quantité mesurée est le correspondant au sur lequel on est tombé.




Tout cela admet une formulation mathématique plus simple et élégante.

On va dire qu'un observable est un opérateur hermitien de L²([0,1]).

C'est à dire une application linéaire A : L²([0,1]) -> L²([0,1]) qui vérifie .


Par exemple, l'observable R de position est l'opérateur R défini par .

Il y a un théorème qui dit que tout opérateur hermitien est diagonalisable dans une base orthogonale. => Les vecteurs propres de l'opérateur forme la base orthogonale évoquée plus haut, les valeurs propres sont les résultats de la mesure.

On peut effectivement vérifier que les vecteurs propres de sont les Dirac .



Quelques opérateurs classiques :

Position :

Impulsion :

Énergie (aussi appelé hamiltonien) :
(On reconnait dans le premier terme le carré de l'opérateur impulsion, divisé par 2m... donc l'énergie cinétique. Le second terme est l'énergie potentielle).

Moment angulaire :
(le produit vectoriel des opérateurs position et impulsion... logique)



Précisions mathématiques

Il y a de gros pipeaux dans ce que j'ai dit à propos de la position.

1) Les diracs ne sont pas des éléments de L²([0,1]). Il faudrait parler de distributions.

2) Quand bien même : on ne peut pas multiplier deux distributions, dont on ne peut pas calculer le produit scalaire de deux diracs.

3) Et de toute façon c'est un peu louche de dire qu'une fonction est une somme de diracs coefficientés.


Bref tout cela était juste "avec les mains", mais en toute rigueur faux.
Mais qu'à cela ne tienne : la notion d'opérateur est justement utile pour éviter ces petites emmerdes mathématiques, l'opérateur position est défini de façon tout à fait rigoureuse et satisfaisante.




Exercice : pour chaque opérateur, on peut calculer les états propres, dans le cas d'une particule dans une boîte, et voir si les valeurs propres sont quantifiées ou continues...
Le papier de Schrödinger en 1926, "Quantisierung als Eigenwertproblem" ("la quantification comme problème de valeurs propres") est considéré comme l'un des plus importants du XXième siècle.

Sally (./77) :
à propos, ça serait quand même vachement mieux si les machins élémentaires s'appelaient des ondes et pas des particules, à défaut d'avoit un troisième nom. Ça n'a pratiquement rien à voir avec ce qu'on appelle classiquement une particule (« onde » a le mérite d'être plus vaste), et en plus on est souvent amené à utiliser dans un même discours ces deux notions de particules, ce qui l'embrouille inutilement. Certes dans certaines circonstances on peut voir les machins en question comme des particules, mais est-ce qu'on appelle les planètes des masses ponctuelles sous prétexte qu'en mécanique céleste on peut souvent faire comme si c'étaient des masses ponctuelles ?

Ce sont des ondes, un point c'est tout.

Sally (./77) :
Et donc c'est ça la fameuse « dualité onde-particule », si je comprends bien ? si tu projettes ton objet sur la base des états d'énergie, il devient une onde, et si tu le projettes sur la base des positions, il devient une particule ? et donc, suivant la façon dont tu interagis avec lui, il peut se comporter alternativement comme l'un et comme l'autre...

Raaaah merci, j'ai ENFIN compris, si c'est ça !

Erf oui, j'aurais dû penser que le moment commun avait un rapport avec le mouvement de balancier d'une horloge... Bon bah il aurait peut-être juste fallu que notre prof de l'époque nous l'explique

Hippopotame (./74) :
Il faut se représenter la particule dans sa boîte comme de l'eau dans une bassine, avec des vagues à la surface. Mesurer, c'est comme plonger le doigt dans l'eau : on va effectivement se rendre compte du niveau d'eau là où on a mis le doigt, mais on va démolir tout le système de vagues.

Putain de bordel de c'est génialissime ton analogie, je veux baffer tous les profs de MQ qui ont pas osé nous dire ça avant

Hippopotame (./74) :
Une fois qu'on a fini de mesurer, donc d'interagir, ben la fonction d'onde va petit à petit se réétaler...

On peut voir ça avec tes trucs matlab?

Hippopotame (./79) :
Au moment où on fait la mesure, la fonction d'onde est projetée sur l'un des états purs

moi j'aimerais savoir pourquoi. Dans l'analogie, pourquoi mettre le doigt dans la bassine produit une projection. Parce qu'on favorise certains modes propres en en éliminant d'autres? J'ai un peu de mal à établir le lien entre la définition d'une position et la notion de dirac, ça me parait un peu arbitraire.

OK en fait ce qui me coince c'est que pour l'énergie on a une somme finie d'énergies "pures" possibles et qu'on en fait une somme d'harmoniques.

Pour la position c'est une décomposition de fourier continue, je sais que ça existe, mais c'est pas facile de faire une analogie avec le cas de l'énergie

Hippopotame (./79) :
Et de toute façon c'est un peu louche de dire qu'une fonction est une somme de diracs coefficientés.

Oui celui là il m'a fait un peu tiquer, mais bon si on les prend assez serrés ça me dérangeait pas d'atteindre une limite continue j'imagine qu'il faut des définitions mathématiques plus rigoureuses et c'est là qu'on a besoin des distributions c'est ça?

Hippopotame (./78) :
Mais qu'à cela ne tienne : la notion d'opérateur est justement utile pour éviter ces petites emmerdes mathématiques, l'opérateur position est défini de façon tout à fait rigoureuse et satisfaisante.

Euh, mais donc (il faudrait que je récupère mes livres de maths un de ces 4) d'après le théorème que tu cites plus haut il a bien des vecteurs propres, qui ne peuvent pas être des Dirac... c'est quoi du coup ?
Sinon, est-ce que les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont toujours réelles ? edit : bah oui si <kψ|ψ> = <ψ|kψ> alors k est égal à son conjugué...

Bon sinon il y a toujours un élément qui me manque : comment on fait pour mesurer ? Je vois comment l'opération de mesure est définie dans la théorie (« mesurer » un observable signifie projeter la fonction d'onde sur un unique vecteur propre de cet observable, bon pourquoi pas même si c'est pas le sens que je donne à mesurer) mais concrètement ça correspond à quoi ? est-ce que c'est possible pour n'importe quel opérateur hermitien ?

squalyl (./84) :
J'ai un peu de mal à établir le lien entre la définition d'une position et la notion de dirac, ça me parait un peu arbitraire.

Ben en l'occurrence tu as une densité de présence étalée partout ; une position pure ça correspond à une densité de présence entièrement concentrée en un seul point, donc un Dirac (un truc qui est nul partout sauf en un point et dont l'intégrale vaut quand même 1. La théorie des distributions sert à définir ce genre de truc proprement, en effet ça n'est pas une fonction à proprement parler. cf. http://fr.wikipedia.org/wiki/Distribution_%28math%C3%A9matiques%29 )

oui OK en fait ça veut dire que la particule est n'importe où avec une proba |psi(x,t)²|

mais en fait ma vraie question c'est la même que toi, je comprends pas trop le coup de la projection

squalyl (./84) :

Une fois qu'on a fini de mesurer, donc d'interagir, ben la fonction d'onde va petit à petit se réétaler...

On peut voir ça avec tes trucs matlab?

J'essaierai de le faire... mais j'ai des doutes.
Le problème c'est que dans la pointe très fine, il y a des composantes d'énergie très élevée. Il va donc falloir beaucoup de coefficients de Fourier (des milliers?) pour représenter correctement la pointe. J'ai peur que mes petits programmes pourris aient un peu du mal Ou alors je prends une pointe qui n'est que modérément pointue...

Sally (./85) :
Euh, mais donc (il faudrait que je récupère mes livres de maths un de ces 4) d'après le théorème que tu cites plus haut il a bien des vecteurs propres, qui ne peuvent pas être des Dirac... c'est quoi du coup ?

Bon alors en fait j'ai cité la version "physicienne" du théorème (qui marche toujours, à condition d'être un peu "libéral" dans les calculs ), la version "mathématicienne" est plus compliquée, il doit y avoir des conditions supplémentaires (mais là, sur le coup, je ne saurais l'énoncer...)

Par exemple je crois me souvenir que tout opérateur hermitien vérifiant telle condition n'est pas forcément diagonalisable, mais que l'adhérence de la somme des espaces propres est de codimension finie dans l'espace total... Le physicien considère que c'est diagonalisable et c'est tout.

Sinon, est-ce que les valeurs propres d'un opérateur hermitien sont toujours réelles ?

Ah oui !! J'ai oublié de le préciser.

Ce qui fait qu'on ne mesure que des nombres réels.

Bon sinon il y a toujours un élément qui me manque : comment on fait pour mesurer ? Je vois comment l'opération de mesure est définie dans la théorie (« mesurer » un observable signifie projeter la fonction d'onde sur un unique vecteur propre de cet observable, bon pourquoi pas même si c'est pas le sens que je donne à mesurer) mais concrètement ça correspond à quoi ? est-ce que c'est possible pour n'importe quel opérateur hermitien ?

Alors, réponse courte :

Au début de la mécanique quantique on a vu que la mesure ça marchait comme ça, donc on a posé ça comme axiome et puis c'est tout !

Ce qui donne à la mesure un côté mystique qui a fait couler beaucoup d'encre...


Réponse longue :

On a une approche moderne (la théorie de la décohérence) qui explique de façon très satisfaisante ce qu'est la mesure, et pourquoi la fonction d'onde se réduit de cette manière.

Mais avant de pouvoir en parler, je vais avoir besoin d'introduire de nouvelles choses !

on va patienter

VIII) Et pour une particule ou un système plus compliqués ?


Jusque là il était question d'une particule dans une boîte [0,1] => sa fonction d'onde vit dans L²([0,1]).


Si c'est une particule libre, dans un espace à 1 dimension, sa fonction d'onde est, c'est assez clair, un élément de L²(R).


Dans un espace à trois dimensions? => L²(R^3)




Imaginons maintenant qu'il y ait deux particules dans la boîte [0,1]. En mécanique classique, il faudrait un couple (x,y) € [0,1]² de coordonnées pour définir l'état du système. => En mécanique quantique, l'état du système est une fonction d'onde dans L²([0,1]²).


De façon générale, si U est l'espace des phases d'un système classique, alors l'espace des phases du système quantique correspondant est L²(U) : le système quantique est défini par une fonction d'onde qui est une densité de présence sur l'ensemble des états classiques possibles.




Autre exemple : une particule dans un espace à 1 dimension, qui a une charge électrique (=> un entier).
Quantiquement son espace des phases est L²(RxZ) : en méca classique il faut pour la définir un couple (position, charge) où position est un réel et charge un entier.


Un système de trois particules chargées qui se baladent dans l'espace? => L²( R^3 x Z x R^3 x Z x R^3 x Z ).




Un dernier exemple pour voir qu'il n'y a pas que la position n'est pas toujours importante : le qubit.

Un bit est un système classique qui a deux états : Haut et Bas (je fais exprès de ne pas écrire "0" et "1", pour ne pas confuser les calculs).

Donc l'espace des phases d'un bit est {Haut, Bas}.

=> L'espace des phases du qubit, l'équivalent quantique du bit, est L²({Haut, Bas}).
Cet espace est isomorphe à C², une base orthogonale étant (Haut,Bas).

L'état d'un qubit est donc une fonction d'onde où a et b sont deux nombres complexes.

On normalise ψ, de sorte que |a|²+|b|²=1.

On dispose d'un opérateur "mesure du qubit" ; quand on fait la mesure on va trouver Haut avec une probabilité |a|² ou Bas avec une probabilité |b|² et la fonction d'onde va être ramenée à l'état pur (Haut ou Bas) correspondant.



Souvent, quand on a un système quantique très compliqué, on peut juste dire que l'espace des phases est un espace de Hilbert (donc de la forme L²(quelque chose) ), sans pouvoir expliciter le "quelque chose". Mais ça n'empêche pas qu'on puisse faire des calculs avec...






IX) Composition de systèmes

Dans cette partie, on a maintenant deux boîtes [0,1] et [2,3].



On appelle (E) le système : une particule dans la boîte [0,1].

On appelle (F) le système : une particule dans la boîte [2,3].

On appelle (E OU F) le système : une particule, qui se trouve soit dans la boîte [0,1] soit dans la boîte [2,3].

On appelle (E ET F) le système : une première particule dans la boîte [0,1] et une deuxième particule dans la boîte [2,3].


Voyons les espaces des phases :


- En mécanique classique

(E) => [0,1] (une coordonnée dans la première boîte)

(F) => [2,3] (une coordonnée dans la deuxième boîte)

(E OU F) => [0,1] U [2,3] (une coordonnée dans l'une des boîtes)

(E ET F) => [0,1] x [2,3] (un couple de coordonnées)


- En mécanique quantique

(E) => L²( [0,1] )

(F) => L²( [2,3] )

(E OU F) => L²( [0,1] U [2,3] )

(E ET F) => L²( [0,1] x [2,3] )


Or il se trouve que

L²( [0,1] U [2,3] ) = L²([0,1]) x L²([2,3]) où x est le produit scalaire

et que

L²( [0,1] x [2,3] ) = L²([0,1]) ⊗ L²([2,3]) où ⊗ est le produit tensoriel de deux espaces vectoriels.


Opérations sur les espaces des phases qui correspondant aux compositions de systèmes

Classique	Quantique
O	U	U
x E	T	x

⊗

On voit qu'un système quantique composé contient beaucoup plus d'information qu'un système classique équivalent. En effet, si dim A = n et dim B = m, alors dim AxB = n+m alors que dim A⊗B = nm.


Application aux qubits

On considère un système de deux qubits.
L'état du premier est une combinaison linéaire de Haut1 et Bas1, le second, des états Haut2 et Bas2.

Le système complet a alors pour état une combinaison linéaire .

Si jamais l'état du système est un produit tensoriel "état 1" ⊗ "état 2", c'est à dire , alors on peut dire que sans ambiguïté le premier qubit est dans l'état et le second est dans l'état .

Mais en général, ne peut pas s'écrire sous cette forme.

On dit alors que les deux qubits sont intriqués, chacun n'a pas un état indépendant de l'autre.

C'est grâce à l'intrication quantique que le système porte plus d'information que les deux qubits séparément.

C'est aussi grâce à ce phénomène que l'ordinateur quantique fait rêver : avec un système de seulement 100 qubits, on ferait des calculs dans un espace de dimension 2^100 = 1267650600228229401496703205376, autrement dit du calcul massivement parallèle.