Sally (./7924) :
Mais avec l'axiome que tout entier a un prédécesseur sauf 0, on peut il me semble construire tout entier a posteriori : on remonte jusqu'à zéro et hop on le reconstruit à partir des deux axiomes que tu dis, ça ne marche pas ?
La ruse profonde est là :
Tu peux démontrer,
mais seulement de manière interne au système axiomatique, que tout entier du modèle peut être atteint à partir de 0 et par opérations succ.
Mais ça peut être faux depuis l'extérieur de l'axiomatique.
Ce qui se passe, c'est que dans ton axiomatique, tu as un axiome de récurrence (ou induction) qui dit quelque chose du genre :
"Tout ensemble A contenant 0 et stable par succ contient tous les entiers."
Le modèle va être tel que tout ensemble
interne au modèle, contenant 0 et stable par succ, est l'ensemble de
tous les entiers du modèle.
Par contre il se peut qu'un tel ensemble soit strictement plus gros que les entiers standard, ou, de façon équivalente, que l'ensemble des entiers standard (qui certes contient 0 et est stable par succ) ne soit pas un ensemble
interne au modèle.
Bref, depuis l'intérieur de l'axiomatique, les entiers non standard bizarres sont indétectables, et on peut effectivement montrer que 0 et succ engendrent les entiers du modèle (par contre, un entier non standard sera engendré par un nombre non standard de fois succ! ce dont on ne se rendra pas compte de toute façon). De l'extérieur de l'axiomatique, on se rend compte qu'il y a des non standard.
je ne suis pas sûr si cette construction est rigoureuse, intuitivement c'est l'idée, mais je ne suis pas sûr si définir ça comme ça ne crée pas de problèmes) le plus petit modèle des entiers naturels, c'est-à-dire le modèle M pour lequel on peut construire une injection de M vers tout autre modèle M' des entiers naturels. Les modèles qui ne sont pas en bijection avec le modèle standard sont dits non-standard.
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(au fait, quelle heure est-il au japon, là 
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