Bon alors en algèbre on étudie plein d'objets dont on se rend compte qu'ils ont des propriétés communes ; du coup on invente ce qu'on appelle des structures.
Par exemple, les entiers relatifs, ou bien les polynômes, sont deux exemples d'
anneaux.
Les rationnels, les nombres réels, les combres complexes, sont des exemples de
corps.
La droite, le plan, l'espace de dimension trois, sont des exemples d'
espaces vectoriels.
Donc voilà on définit des pleines brouettes de structures : groupes, anneaux, corps, espaces vectoriels, algèbres, espaces topologiques, variétés, etc... qu'on finit par étudier pour elles mêmes. C'est le niveau 1 de l'abstraction.
La théorie des catégories, c'est le niveau 2 de l'abstraction. On dit que toutes ces structures diverses (qui sont elles mêmes des abstractions de situations concrètes), sont des cas particuliers de
catégories.
Une catégorie (par exemple la catégorie des corps) c'est une liste d'
objets (ici, le corps des nombres rationnels, celui des nombres réels, celui des nombres complexes, et tous les autres...) assortie de leurs
morphismes (ou
flèches) (ici, l'injection de Q dans R, la conjugaison complexe, et bien d'autres....)
Et on étudie les catégories pour elles mêmes. C'est élégant, conceptuel, unificateur, et c'est des diagrammes avec des flèches
(avec vos conneries, vous me donnez presque envie de refaire des maths)
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