Insomniaques s'abstenir. - Page 1

Je creuse. J'ai même l'impression que j'vais creuser jusqu'au centre de la Terre.
Voici mon cercle viscieux. (Je mets ça dans scolaire, parce que sans l'école je n'y aurais sans doutes pas pensé)

On dit que l’ensemble D est plus grand que l’ensemble N. Plus précisément, que celui-ci contient plus d’éléments.
Or, l’ensemble N est censé être indénombrable et aller jusqu’à l’infini.
Comment, un ensemble infini pourrait-il être plus grand qu’un autre ?
Sans aucune restriction, sans faire de fourchette et donc interrompre les ensembles, ceux-ci auraient toujours des nombres à faire correspondre.
Peut-on simplement dire que l’ensemble D comporte plusieurs infinis alors que l’ensemble N n’en représente qu’un seul et unique ?
De quoi parle-t-on exactement, quand on parle d’infini ?

C'est un truc que je comprenais pas non plus et finalement j'ai laissé tombé ... il faut l'admettre un point c'est tout ... aucune personne pourra t'expliquer d'une facon logique que c'est vrai ...

Le seul truc auquel tu peux te raccrocher c'est la densité .... D & N sont infinis mais D est + "dense" qu'N ... donc il est plus grand ... (bah oui c'est n'importe quoi comme résonnement mais bon ...).

Ahalala ca me rappelle mes cours à la fac

Pour tous ensemble borné identiquement pris sur ces deux ensembles, le nombre d'éléments de ces sous ensembles sera toujours supérieurs sur le sous ensemble tiré de D que tiré de N... ce qui revient à parler de densité... mais ta remarque est assez juste

Pandora
: Or, l’ensemble N est censé être indénombrable et aller jusqu’à l’infini.

Du peu que je sais, N est dénombrable, et les ensembles qui peuvent être "mis en bijection avec une partie de N" sont dénombrables aussi. N² est dénombrable (on peut trouver une formule par exemple) donc D (si c'est bien les "décimaux" dont tu parles, parce que c'est presque des quotients de 2 entiers) aussi.
Ensuite ya une histoire de cardinal et tout mais je connais pas.
je crois que les ensembles dénombrables ont le même nombre d'éléments puisque à chaque élément de N, il y a un élément de l'autre ensemble, et que c'est seulement R qui est dit "plus dense" mais là je suis pas sûr du tout.
[bon j'éspère que tout sera pas faux quand même ]

Ah... Mais j'ai pas l'intention de laisser tomber (j'adore ce smiley)
Je ne perçois pas l'intérêt de réduire les ensembles pour les comparer. Je cherche une vérité générale, non pas un cas qui rentrerait dans une certaine fourchette.
Ne pourrait-on pas seulement dire que D comporte plusieurs infinis ?

nTOME, peut-être que je ne maîtrise pas assez bien le vocabulaire scientifique... Ce que que je voulais dire par indénombrable (et je ne sais pas si c'est ce que cela veut dire) c'est qu'il est impossible, du moins de nos jours, de compter jusqu'à l'infini. (D'ailleurs ça ne se dit pas). "Je crois que les ensembles dénombrables ont le même nombre d'éléments puisque à chaque élément de N, il y a un élément de l'autre ensemble", c'est ce que je crois aussi ^^. Mais j'attends juste qu'on me prouve le contraire.

(

Pandora :
(j'adore ce smiley)

je DETESTE ce smiley ...
)

bon ... les ensembles ... bah ouais ya plein d'infinis, c'est fou ^^
t'as deux sortes d'infinis :

- l'infini denombrable, celui de N, c'est tous les trucs qu'on sait compter. genre N ca a beau etre infini je sais numeroter ses elements (1, 2, 3 ... tu vas aussi loin que tu veux mais tu sais le faire)
de la meme facon l'ensemble des nombres pairs par exemple, bah il a "le meme nombre d'éléments que N". ca peut paraitre bizarre puisqu'a priori pour les pairs tu prend un truc sur deux mais non. L'ensemble des pairs est infini, et c'est un infini qu'on peut compter (0, 2, 4, ... tu vas aussi loin que tu veux mais tu sais le faire)
dernier exemple, Z les entiers relatifs, c'est la meme chose, tu peux compter (0, 1, -1, 2, -2 ... blabla)

- en revanche, si t'essayes de comper les réels, bah .. bon courage ! c'est pas possible (genre on commence avec 0, c'est quoi le 2e reel ?) donc la on sent que finalement des reels yen a bien plus que des entiers. donc R est un ensemble infini *indenombrable*, en gros c'est "ya tellement d'elements qu'on peux pas les compter".

vala vala, plus tu manipules ces notions plus ca devient clair mais c'est normal que ce soit flou au départ

[bon, cross, j'avais laissé ça dans un vieux tab, mais heureusement c pas trop redondant avec ce qu'a dit Nheryvra ]

Il faut bien distinguer deux choses :
- la cardinalité des ensembles en tant que tels, c'est-à-dire débarrassés de toutes les structures que tu pourrais leur appliquer (addition, multiplication, ordre, nullité, ...)
- les structures que tu appliques sur tes ensembles


Dans le premier cas, l'infini de N et l'infini de D sont rigoureusement les mêmes. Puisque tu peux construire une bijection entre tous les éléments de N et tous les éléments de D, il n'y a pas de raison que l'ensemble N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,...} n'ait pas la même taille que l'ensemble D = {0,1,-1,0.1,-0.1,2,-2,0.2,-0.2,0.02,-0.02,3,...} ou l'ensemble A = {x,xx,xy,yx,yy,xxx,xxy,xyx,xyy,yxx,yxy,yyx,...}. Ils ont juste des étiquettes différentes, mais ils sont tous dénombrables : pour chaque élément de ton ensemble, que ce soit 4328979, 1.274894 ou xxxyxxyxxy, au bout d'un temps fini il va être "prononcé" dans l'énumération.

Ce n'est pas vrai pour d'autres ensembles infinis, comme R ou P(N) (l'ensemble des sous-ensembles de N) : intuitivement, l'idée est que comme un élément de R peut avoir un nombre infini de chiffres sans aucune relation entre eux, il ne peut *en général* pas être décrit par un nombre fini de symboles ; au contraire, un entier ou un décimal peut toujours être décrit par un nombre fini de symboles (je dis *en général* parce que pour un certain nombre de réels on peut les écrire avec un nombre fini de symboles : les entiers, les rationnels, les nombres algébriques, les nombres "connus" comme e, pi, sin(42), etc... mais ça ne représente qu'une infime partie de l'ensemble des réels). Si tu veux savoir comment démontrer que ce n'est pas le même infini que N, c'est pas très difficile, mais c'est juste une "astuce" qui n'aide pas forcément à comprendre l'intuition derrière, en tout cas pas au premier abord.


Dans le second cas où tu regardes aussi les structures c'est un peu moins clair : déjà, N est inclus strictement dans D, donc D est forcément "au moins aussi grand" que N, et ensuite entre chaque élément de N il y a une infinité d'éléments de D, donc on peut se dire que c'est "'achement plus grand". On a même un peu mieux, puisque l'ordre sur N est discret, alors que celui de D est dense. En gros, tout dépend des types de structures que tu considères et de l'importance que tu leur accordes, et ça n'a pas de sens mathématique général aussi bien défini que pour les cardinaux (mais pour certaines structures on a qd même des notions de taille, par exemple la dimension d'un espace vectoriel).

- en revanche, si t'essayes de comper les réels, bah .. bon courage ! c'est pas possible (genre on commence avec 0, c'est quoi le 2e reel ?) donc la on sent que finalement des reels yen a bien plus que des entiers. donc R est un ensemble infini *indenombrable*, en gros c'est "ya tellement d'elements qu'on peux pas les compter".

un peu foireuse, ta démo, vu qu'il y a autant de rationnels que d'entiers (et si on commence avec 0, c'est quoi le 2e rationnel ?)

!slap Pollux
• flanker slaps Pollux around a bit with a large trout !

maintenant on voit mon edit et pas le tien

un edit ?

en plus on sait même pas de qui vient le post que tu cites, c ni fait ni à faire

ça se voit que c'est du Nheryvra pourtant

mouais mais implicitement citer sans nom ça revient à citer la personne qui a posté juste avant (et dans les deux cas c'est des pavés illisibles sans smileys que personne n'a lu )

Flanker :

- en revanche, si t'essayes de comper les réels, bah .. bon courage ! c'est pas possible (genre on commence avec 0, c'est quoi le 2e reel ?) donc la on sent que finalement des reels yen a bien plus que des entiers. donc R est un ensemble infini *indenombrable*, en gros c'est "ya tellement d'elements qu'on peux pas les compter".

un peu foireuse, ta démo, vu qu'il y a autant de rationnels que d'entiers (et si on commence avec 0, c'est quoi le 2e rationnel ?)

tu prend f une bijection de N dans Q, le 2e c'est f(1), la plus belle bijection que tu trouves sera designée comme canonique et comme ca yaura pas de pb de definition ^^ (NB pour le reste de mon post précédent : j'ai pas cherché a etre le plus rigoureux du monde au cas ou t'aurais pas remarqué )

rattrapage aux branches spotted

-

Ce n'est pas parce qu'il y a le mot "tiré" que c'est sexuel, hein

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Nheryvra :
(

Pandora :
(j'adore ce smiley)

je DETESTE ce smiley ...
)

bon ... les ensembles ... bah ouais ya plein d'infinis, c'est fou ^^
t'as deux sortes d'infinis :

- l'infini denombrable, celui de N, c'est tous les trucs qu'on sait compter. genre N ca a beau etre infini je sais numeroter ses elements (1, 2, 3 ... tu vas aussi loin que tu veux mais tu sais le faire)
de la meme facon l'ensemble des nombres pairs par exemple, bah il a "le meme nombre d'éléments que N". ca peut paraitre bizarre puisqu'a priori pour les pairs tu prend un truc sur deux mais non. L'ensemble des pairs est infini, et c'est un infini qu'on peut compter (0, 2, 4, ... tu vas aussi loin que tu veux mais tu sais le faire)
dernier exemple, Z les entiers relatifs, c'est la meme chose, tu peux compter (0, 1, -1, 2, -2 ... blabla)

- en revanche, si t'essayes de comper les réels, bah .. bon courage ! c'est pas possible (genre on commence avec 0, c'est quoi le 2e reel ?) donc la on sent que finalement des reels yen a bien plus que des entiers. donc R est un ensemble infini *indenombrable*, en gros c'est "ya tellement d'elements qu'on peux pas les compter".

vala vala, plus tu manipules ces notions plus ca devient clair mais c'est normal que ce soit flou au départ

supayr !

\o \o/ o//

Pollux :
Dans le second cas où tu regardes aussi les structures c'est un peu moins clair : déjà, N est inclus strictement dans D, donc D est forcément "au moins aussi grand" que N, et ensuite entre chaque élément de N il y a une infinité d'éléments de D, donc on peut se dire que c'est "'achement plus grand

cool on en revient à ma densité

Eh. Je vous interdis de polluer MON topic. Mayrde à la fin. Respect me ! Voilà.

N ca a beau etre infini je sais numeroter ses elements (1, 2, 3 ... tu vas aussi loin que tu veux mais tu sais le faire)

Que dalle. Ca parait naze, dit comme ça, mais c'est vrai, personne ne sait comment on appelle tous les nombres au bout d'un certain moment. A moins qu'un ordi fasse ça en continu, mais j'en doute c'est sans intérêt.

J'ai des états d'âme à ne pas réagir plus que cela à ton développement, Pollux mais mff, vu que j'ai saisi...

Merci tous, au passage, pour ces fructueuses explications. J'vais faire semblant d'avoir tout assimilé et de ne plus m'en soucier parce que j'vois pas c'qu'on pourrait m'expliquer de plus. Donc voilà, mille grâces et compagnie.

Pandora :
Que dalle. Ca parait naze, dit comme ça, mais c'est vrai, personne ne sait comment on appelle tous les nombres au bout d'un certain moment.

Si, on peut le faire

Bah vas-y, fais-le. Je regarde.

Bah... J'ai une question similaire, on a plusieurs infinis, ça, je comprend, mais on Y'a des smboles pour les représenter, et je ne sais pas ou, commentchercher: je n'ai ni le nom du symbole, ni rien. Je crois que ça ressemble à Xo pour les naturels, X1 pour les réels mais j'en suis rudement pas sure. je demande confirmation.

tu veux parler de aleph0 = cardinal de IN, et aleph1 = cardinal de IR (de mémoire) ?

(j'écris aleph vu que je connais pas le code pour les lettres hébraïques ^^)

oui, c'est ça ça merci.
Aussi on m'a parlé d'un ensemble plus vaste que les irréels, ou A x B différent de B x A.
J'ai un prof de spé maths génial, mais faut pas lui demander de répeter ce qu'il dit ni le déranger pendant la pose.
Bref, c'est quoi cet ensemble et comment il fonctionne?(En très très gros)