Y arrivera-t-on un jour ? - Page 9

Oui je ne comprends pas ce que tu appelles une réalité mathématique. Tu veux dire qu'il faut que ce soit une fonction qui représente quelque chose, qui ait une définition autre qu'une formule ? par exemple, on définit n! comme le nombre de façons possible d'ordonner n éléments différents, ça c'est une "réalité" ? mais si tu prends cette définition, tu constateras aisément qu'il y a exactement une façon d'ordonner 0 élément, donc tout va bien ^^

Edit : pour être un peu plus précis, quand je dis nombre de façons d'ordonner n éléments, cela revient au nombre de façons de les numéroter de 1 à n, donc c'est le nombre de bijections entre un ensemble à n éléments donné et l'ensemble de numéros {1,2...n}. Si tu prends un ensemble à 0 éléments, tu cherches le nombre de bijections entre l'ensemble vide et lui-même, et il y en a exactement une

Sally (./239) :
Par contre évidemment si tu la définis comme une suite récursive tu peux toujours choisir la valeur du terme initial comme tu veux, mais si tu en prends une autre que 1 ça ne correspond plus aux autres définitions...

Hippopotame (./240) :
Si tu définis une fonction f(0)=45.8, f(1)=1 et f(n 1)=(n 1)f(n), elle est aussi réelle mathématiquement que la fonction factorielle classique. Je ne comprends pas ton point

Non mais c'est juste que dans mon petit cerveau, factorielle de n est simplement le produit de tous les entiers croissants de 1 à n (n positif). Donc si n=0, on ne peut pas définir le produit puisqu'aller de 1 à 0 n'est pas possible (on n'est plus dans les entiers croissants), donc on choisit une valeur 0! = 1 la plus pratique pour les cas généraux mais qui ne correspond pas à la définition.

Aller de 1 à 0 est possible, ça veut dire que le produit est vide, et donc égal à 1 (l'élément neutre de la multiplication).

Mais si on autorise à aller de 1 à 0, pourquoi n'autorise-t'on pas à descendre encore plus ? (comme j'ai dit plus haut, les maths c'est pas vraiment ma tasse de thé même si ça m'intéresse dans le principe).

Oui ou dit autrement (pour que Nil comprenne bien), aller de 1 à 0 n'est effectivement pas possible, donc ça veut dire que tu ne multiplies rien du tout, donc le résultat est 1 (de même que quand tu n'additionnes rien du tout, le résultat est 0).

edit (cross) : ben avec cette définition-là de la factorielle, tu peux effectivement tout à fait décider de l'étendre à Z et de dire par exemple que (–23)! = 1, parce qu'effectivement ta formule est bien définie même pour n négatif. Mais pour d'autres définitions ça n'a pas tellement de sens (cf. le nombre de permutations). Donc l'usage c'est de la définir sur les entiers naturels, surtout que sur les entiers relatifs elle n'a aucun intérêt...
il y a une grosse différence conceptuelle entre descendre jusqu'à 0 et descendre plus bas que 0 hein

Ok, vu comme ça, ça me va bien

Sally (./245) :
donc ça veut dire que tu ne multiplies rien du tout, donc le résultat est 1 (de même que quand tu n'additionnes rien du tout, le résultat est 0).

c'est ca qui est une convention et qui ne correspond pas vraiment à une "realité mathématique" justement non ?

hum, c'est une définition disons, mais en quoi ça ne correspond pas à une « réalité mathématique » ?
tu ne peux pas décider que le produit vide fasse autre chose que l'élément neutre (ça n'aurait aucun sens), la seule chose que tu pourrais décider c'est que ça ne veuille rien dire et que tu n'aies pas le droit de l'écrire, mais ça ne ferait pas beaucoup avancer le schmilblick... c'est une extension naturelle de la notion de produit/somme.

Donc je suis d'accord avec le fait qu'on pourrait décider de ne pas du tout définir 0!, mais par contre si on veut le définir la seule valeur naturelle à lui donner est 1 (et cela correspond au nombre de permutations de 0 éléments et à la valeur de la fonction gamma ^^)

Sally (./248) :
tu ne peux pas décider que le produit vide fasse autre chose que l'élément neutre (ça n'aurait aucun sens)

j'ai franchement pas pris le temps d'y reflechir (c'est mal ) mais est-ce que ca n'aurait vraiment "aucun sens" ou est-ce que ce serait juste pas pratique du tout ?

(Au fond toute cette discussion est à propos du sens du mot "canonique", grosso modo)

Ben si tu poses autre chose tu niques la "relation de Chasles" donc c'est un peu chiant . Si le produit vide est différent de l'élément neutre, ça signifie que multiplier un nombre par aucun facteur (ie par le produit vide) et ne pas multiplier ce nombre du tout donnent des résultats différents .
Plus précisément ça voudrait dire que dans un gros produit, tu peux faire, par associativité, toutes les séparations de produits en plusieurs sous-produits que tu veux tant qu'il y a au moins un facteur dans chaque sous-produit, mais par contre si un de tes sous-produits ne contient plus aucun facteur ça change la valeur du produit global
(Bon ça rentre dans la partie « pas pratique du tout » tout ça ?)

Sinon je ne vois pas trop comment on pourrait prouver que ça n'aurait aucun sens, disons que je ne vois vraiment pas quel sens ça pourrait avoir de décider, par exemple, que quand tu ne multiplies rien du tout ça fait 3

Sally (./251) :
(Bon ça rentre dans la partie « pas pratique du tout » tout ça ?)

Ouais en fait je sais pas trop, mais c'est vrai que cette discussion n'a pas beaucoup d'interet au final

Si (E,∧) est un monoïde associatif, commutatif, de neutre e, on définit le composé fini des éléments d'une partie A={a1,...,an} de E par récurrence de cette façon :

({}) = e
({a1,...,an})=a1∧({a2,...,an})

Sally (./251) :
que quand tu ne multiplies rien du tout ça fait 3

Non mais en l'occurrence, pour 0! on multiplie rien du tout par rien du tout, donc ça pourrait aussi bien faire rien du tout que l'élément neutre, non ?

Tu peux même le définir quand ce n'est pas commutatif, du moment que ton ensemble d'indices est ordonné.
Nil > oui je disais qu'il peut sembler justifié a priori de ne pas vouloir définir du tout le produit vide, ça ok, donc ça pourrait "ne rien faire du tout" si tu veux, mais que si tu décides de le définir alors la seule valeur que tu peux lui donner est l'élément neutre (donc tu peux décider que ça fait 1, mais pas que ça fait 3 (sauf si tu es dans Z/2Z )).

Le truc c'est que refuser de définir le produit vide n'apporte rien, c'est une restriction sans intérêt. Donc autant le définir, et lui donner la seule valeur naturelle

Nil (./254) :
Non mais en l'occurrence, pour 0! on multiplie rien du tout par rien du tout, donc ça pourrait aussi bien faire rien du tout que l'élément neutre, non ?

Pour 0! on ne multiplie pas puisqu'il n'y a rien à multiplier, l'idée d'une multiplication est métaphorique
Et la logique du problème fait qu'il est juste et bon de prendre l'élément neutre de la loi comme résultat.

mais bon pour reprendre la question de Nil sur le fait de "descendre encore plus", une propriété fondamentale de la somme c'est que

pour tous a,b,c ; par conséquent la seule manière correcte de définir une somme de n=1 à 0 c'est de le définir comme la somme nulle ; de même pour n=1 à -1 on a obligatoirement


etc...
(c'est pareil pour le produit, sauf qu'il y a une petite difficulté à cause du fait que 0 n'est pas inversible pour la multiplication ; ça nous donne qqch comme [et de fait, si on prend la fonction Gamma qui généralise la factorielle, on aboutit à la même conclusion sur (-1)!])

(pt1 c'est là où je me rends compte que j'ai totalement perdu le peu que j'avais en maths, c'est que bien que je comprenne tout à fait les conventions d'écritures employées, pour la somme et le produit, elles ne me parlent pas spontanément, je suis obligé de me forcer pour comprendre).

Pollux > hum pour le coup, autant ta convention sur les sommes à l'envers est certes parfaitement justifiée d'un certain point de vue (et est standard pour les intégrales), autant pour les sommes discrètes il me semble qu'il y a au moins une convention concurrente, celle qui consiste à dire que (par défaut j'ai tendance à considérer que c'est ça que veut dire la notation ; alors peut-être que je suis le seul mais ça m'étonnerait )... évidemment avec cette définition tu n'as pas la relation de Chasles quand les bornes sont dans le désordre, mais bon elle ne me semble pas si « fondamentale » que ça, tout dépend ce que tu veux faire.

j'ai pas le souvenir d'avoir jamais rencontré ta convention concurrente, en tout cas pas en dehors du domaine où les deux conventions coïncident... (i.e. je crois pas avoir rencontré de qui utiliserait ta définition, pour une valeur quelconque de 3)

évidemment c'est très fréquent soit que n soit toujours >= 0 donc l'intervalle est jamais "plus que vide", ou encore que les a_i soit naturellement nuls pour i négatif ; dans ce cas-là on peut l'exprimer avec n'importe laquelle des définitions

et la relation de Chasles est quand même utile pour exprimer la somme avec pour borne supérieure n+1 en fonction de celle qui a pour borne supérieure n, par exemple ^^

ah franchement, arrivera-t-on à faire comprendre les maths à Nil, Y arrivera-t-on un jour ?

oué, c'était juste pour faire genre on est encore dans le sujet initial

Flan > Merci, merci, cela dit, la question reste entière

Tu veux qu'on en garde juste la moitié ?

Oulah, ça devient trop mathématique, là

Nil (./233) :
On m'avait expliqué que 0! = 1 avait été défini plus parce que c'était pratique comme ça que parce que c'était une réalité mathématique (enfin on m'a peut-être menti, j'ai l'habitude en maths )

J'aimerais bien savoir ce que tu appelles une « réalité mathématique ». Parce qu'en maths, on n'en a rien à foutre du réel. D'ailleurs, si 1+1=2, c'est juste parce qu'on l'a défini comme ça, et qu'on aurait aussi bien pu définir 1+1=87.

Ben sauf que quand tu as un bonbon d'un côté puis que tu en as un d'un autre, quand tu les mets ensemble, ça fait quand même deux bonbons, donc il y a quand même un lien avec une certaine logique qui existe à la base, parce qu'à l'origine les mathématiques servaient à décrire des situations réelles (les prémices de l'économie/gestion, d'une certaine manière)

Mais même "deux" doit être défini (par exemple comme succ(succ(0)) ou |{{},{{}}}|).

j'ai l'impression qu'en maths on peut tout définir mais certaines définitions permettent de tout faire coller ensemble, et hôô ça tombe bien c'est ça les "définitions naturelles"

voilà c'est tout à fait ça

Nil (./266) :
Ben sauf que quand tu as un bonbon d'un côté puis que tu en as un d'un autre, quand tu les mets ensemble, ça fait quand même deux bonbons, donc il y a quand même un lien avec une certaine logique qui existe à la base, parce qu'à l'origine les mathématiques servaient à décrire des situations réelles (les prémices de l'économie/gestion, d'une certaine manière)

dans ce cas-là ce que tu appelles "réel" c'est "qui correspond à un certain modèle de la réalité" (c'est bien un modèle, puisque parler de 10^(10^14) bonbons n'a aucun sens concret)... d'ailleurs suivant ton modèle tu peux avoir une notion de 0 ou pas (tu pourrais très bien décréter que la notion de "0 bonbons" n'est pas réelle, ce qui n'empêche que parler de 0 bonbons est un outil mathématique extrêmement utile [et qu'après s'être rendu compte que c'est naturel mathématiquement tu peux te rendre compte que ça a aussi une certaine réalité finalement])


et donc à ce moment-là la définition "réelle" de la factorielle c'est celle qu'a donnée sally, i.e. le nb façons différentes d'ordonner n objets : et il y a bien exactement 1 façon d'ordonner 0 objets (s'il y en avait 0 dès qu'il contiendrait un sous-ensemble de 0 objets l'univers disparaîtrait dans un puff of logic )